Üçgenin içindeki
iki özel nokta.
Üç iç açıortay bir noktada kesişir — iç teğet çemberin merkezi. Üç kenarortay da bir noktada kesişir — ağırlık merkezi, ve orayı 2'ye 1 böler. Bu ünitenin bütün soruları bu iki noktanın etrafında dönüyor.
Konu özetinin tanımı: bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. m(AÔB) = m(BÔC) ise [OB, AÔC açısının açıortayıdır.
Açıortay üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir.
Üçgen şeklinde bir kâğıt parçası hazırlanıp köşelerine A, B, C denir. Daha sonra [AB], [BC] nin üzerine gelecek şekilde katlanır. [AC] nin katlandığı noktaya D denirse kâğıt geri açıldığında görülen katlama çizgisi [BD], B köşesine ait iç açıortaydır. Katlama, bir kolu diğerinin üzerine getirdiği için açıyı tam ortadan böler.
Bir üçgenin bir iç açısını iki eş parçaya ayıran ışına o üçgenin iç açıortayı denir. [AS], [BR] ve [CP] ABC üçgeninin iç açıortaylarıdır; uzunlukları sırasıyla n_A, n_B ve n_C ile gösterilir.
Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir ve bu noktaya iç teğet çemberin merkezi denir. Bu nokta üç kenara da eşit uzaklıkta olduğu için içine tam oturan bir çember çizilebilir.
Üçgenin herhangi iki köşesine ait iç açıortayların kesiştiği nokta D ise diğer köşeden gelen açıortay da D noktasından geçer. Yani iki açıortay çizmek, üçüncüsünün yerini belirlemeye yeter.
ABC üçgeninde D noktası iç açıortayların kesiştiği nokta olsun. İç açıortayların birleştirilmesiyle oluşan üçgenlerin alanları taban kenarlarıyla orantılıdır: üç küçük üçgenin alanları sırasıyla a·S, b·S ve c·S biçimindedir. Sebebi, üçünün yüksekliğinin de iç teğet çemberin yarıçapı kadar olmasıdır.
Bir üçgenin bir dış açısını iki eş parçaya ayıran ışına o üçgenin dış açıortayı denir. Konu özeti, hangi açıortayların kesiştiğine göre üç ayrı bağıntı veriyor.
ABC üçgeninde [BD] ve [CD] iç açıortay ise bu bağıntı yazılır. Sonuç her zaman 90° den büyük, yani geniş açıdır.
ABC üçgeninde [BD] ve [CD] dış açıortay ise bu bağıntı yazılır. Sonuç her zaman 90° den küçük, yani dar açıdır.
ABC üçgeninde [BE] iç açıortay ve [CD] dış açıortay ise bu bağıntı yazılır. Sonuç doğrudan A açısının yarısıdır.
Üçgende herhangi iki köşeye ait dış açıortayların kesiştiği nokta D ise diğer köşeye ait iç açıortay da D noktasından geçer. Bu durumda "herhangi iki açıortayın kesiştiği noktaya diğer köşeden çizilen doğru parçası da açıortaydır" sonucu elde edilir.
Buraya kadar açıortayın açıları nasıl böldüğünü gördük; şimdi karşı kenarı nasıl böldüğüne bakıyoruz.
ABC üçgeninin A köşesine ait iç açıortayı [AD] ise (D noktası [BC] üzerinde):
[AD] doğru parçasının uzunluğu n_A ile gösterilir.
Bir ABC üçgeninde A köşesindeki açının dış açıortayı [BC] nin uzantısını D noktasında kesiyorsa:
Bu doğru parçasının uzunluğu n_A′ ile gösterilir.
İkizkenar üçgende tepe açısından tabana çizilen açıortay aynı zamanda yükseklik ve kenarortaydır. İç açıortay teoremiyle de görülür: |AB| = |AC| olduğunda oran 1 çıkar ve taban tam ortadan bölünür.
Konu özetinin tanımı: üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen ve bu kenarı iki eşit uzunluğa bölen doğru parçasına kenarortay denir. Uzunlukları V_a, V_b ve V_c ile gösterilir.
Kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir ve bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir. G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
Ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı, kenarın orta noktasına uzaklığının iki katıdır. Yani her kenarortay 2x ve x parçalarına ayrılır.
Konu özetinin KRİTİK BİLGİ maddesi: orta taban ve ağırlık merkezi verildiğinde köşeden tabana 3, 1, 2 oranı olduğunu unutmayın — |AP| = 3k, |PG| = k ve |GF| = 2k dır.
Ağırlık merkezi sadece bir geometri terimi değil; bir cismin gerçekten dengede durduğu nokta.
Üçgen bir kartonu parmağının ucunda dengede tutmak istersen tam ağırlık merkezinden desteklemen gerekir. Kenarortayları çizip kesişimi bulmak yeter.
Tek ayaklı üçgen masanın ayağı ağırlık merkezine gelmeli; birkaç santim kayarsa masa ağır tarafa devrilir.
Üçgen bir dilimi iki arkadaşa eşit bölmek istersen tepe noktasından kenarortay çizmelisin; açıortay eşit alan vermez çünkü tabanı orantılı böler.
Konu özetinin kendi örneği: üçgen kâğıdın bir kenarını diğerinin üzerine katlarsan katlama çizgisi tam açıortaydır. Cetvele ihtiyaç yok.
Üçgen bir bahçenin üç kenarına da eşit uzaklıkta bir fıskiye koyacaksan iç açıortayların kesiştiği noktaya koymalısın; üç duvara da aynı mesafede olur.
Üçgen bir tabelayı tek iple asarsan ip mutlaka ağırlık merkezinin üstünden geçer; tabela kendiliğinden o konuma döner.
Rozetin ortasına logo basılacaksa merkez ağırlık merkezidir; köşelere olan uzaklıklar farklı olsa da göz onu "orta" olarak görür.
Topu bandın tam ortasına değil de açıortay boyunca gönderirsen dönüş yolu geliş yoluyla simetrik olur — açıortay iki yolu eş açılara ayırır.
İkizkenar çatının tepesinden inen direk hem açıortay hem kenarortay hem de yüksekliktir; tek bir parça üç işi birden görür ve maliyeti düşürür.
Açıortayın tanımı ve dikme eşitliği, iç teğet çemberin merkezi, iç ve dış açıortay açı bağıntıları, iç ve dış açıortay teoremleri, katlama uygulamaları, kenarortay ve ağırlık merkezi üzerine 40 soru.
Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir.
Açıortay üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir: |AB| = |BC| ve |OA| = |OC|.
Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir; bu noktaya iç teğet çemberin merkezi denir ve üç kenara eşit uzaklıktadır.
İki köşeye ait açıortayların kesiştiği nokta D ise diğer köşeden gelen açıortay da D den geçer.
Sonuç her zaman geniş açıdır.
Sonuç her zaman dar açıdır.
[BE] iç, [CD] dış açıortay iken doğrudan A açısının yarısı çıkar.
A köşesine ait iç açıortay [AD], tabanı yan kenarlarla orantılı böler; uzunluğu n_A dır.
Dış açıortay [BC] nin uzantısını keser; uzunluğu n_A′ ile gösterilir.
Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen ve bu kenarı iki eşit uzunluğa bölen doğru parçasıdır; V_a, V_b, V_c ile gösterilir.
Kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir; ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı, kenarın orta noktasına uzaklığının iki katıdır (2 : 1).
Orta taban ve ağırlık merkezi birlikte verilirse |AP| = 3k, |PG| = k, |GF| = 2k olur. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.