Derece çift mi,
tek mi?
Köklü ifadelerde her şey bu tek soruya bağlı. Derece çiftse kök içi negatif olamaz ve dışarı mutlak değerle çıkar; tekse hiçbir kısıt yok. Bir de köklü denklemlerin sinsi tarafı var: bulduğun kök denklemi sağlamayabilir.
n ∈ ℤ⁺, n ≥ 2 ve a, x ∈ ℝ olmak üzere xⁿ = a eşitliğini sağlayan x değerlerine a'nın n. kuvvetten kökü denir ve ⁿ√a ile gösterilir. Bu denklemin çözümü üç farklı durumda incelenir.
n tek ise x = ⁿ√a olur.
n çift ise x = +ⁿ√a veya x = –ⁿ√a olur.
Yani pozitif bir sayının çift dereceden iki kökü vardır.
n tek ise x = ⁿ√a olur.
n çift ise denklemin bir gerçek kökü yoktur.
Çift kuvvet hiçbir zaman negatif sonuç veremez.
a = 0 ise ⁿ√0 = 0 olur. Derece ne olursa olsun tek çözüm sıfırdır.
Köklü sayılar arasında dört işlem yapabilmek için önce kök derecelerinin eşit olup olmadığına bakılır. Dereceler farklıysa eşit hâle getirildikten sonra işleme başlanır.
n ∈ ℝ⁺, n ≥ 2 olsun. x ∈ ℝ⁺ ve a, b ∈ ℝ olmak üzere kök derecesi ve kök içi aynı olan ifadeler ortak paranteze alınarak toplanır ya da çıkarılır.
n ∈ ℝ⁺ ve n ≥ 2 ve a, b ∈ ℝ⁺ olmak üzere aynı dereceli kökler tek kök altında birleştirilebilir.
x ∈ ℝ⁺, m ∈ ℝ; n, k ∈ ℝ⁺ ve n ≥ 2 olmak üzere kök derecesi ve kök içindeki üs aynı sayı ile genişletilebilir:
Örneğin ³√2 ile √3 toplanacaksa dereceler 6'da eşitlenir: ³√2 = ⁶√(2²) = ⁶√4 ve √3 = ⁶√(3³) = ⁶√27 olur.
Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel sayıdan her biri diğerinin eşleniği olarak tanımlanır. Köklü rasyonel ifadelerde paydayı kökten kurtarmak için paydadaki sayının eşleniği ile pay ve payda çarpılır.
√(a ± 2√b) şeklindeki köklü ifadelerde m, n, a, b ∈ ℝ – {0} olmak üzere a = m + n ve b = m · n olacak biçimde m ve n bulunur. Bu durumda ifade şu şekilde yazılır:
Örnek: √(5 + 2√6) ifadesinde a = 5, b = 6. Toplamı 5, çarpımı 6 olan iki sayı 2 ve 3'tür; yani √(5 + 2√6) = √3 + √2 olur.
Kök, çarpma ve bölmeyle anlaşır ama toplama ve çıkarmayla anlaşmaz. √9 + √16 = 3 + 4 = 7 iken √(9 + 16) = √25 = 5'tir. İkisi aynı değil. Aynı şekilde √(a²+ b²) ifadesi a + b olarak sadeleştirilemez.
Bilinmeyenin kök içinde olduğu denklemlere köklü denklemler denir. Köklü ifade içeren denklemlerin çözümünden elde edilen sonucun başlangıçtaki denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
Soru: √x + 4 = 11 olduğuna göre x kaçtır?
Sağlaması: √49 + 4 = 7 + 4 = 11 → 11 = 11. Eşitlik sağlandığından x = 49'dur.
Soru: √x + 13 = 8 olduğuna göre x kaçtır?
Sağlaması: √25 + 13 = 5 + 13 = 18 ≠ 8. Eşitliği sağlayan x değeri yoktur. Kare alma adımı sahte bir kök üretti; √x = –5 zaten olamazdı.
√a sayısının yaklaşık değeri; a sayısından küçük en büyük tam kare sayı x ve a sayısından büyük en küçük tam kare sayı y ise aşağıdaki işlem uygulanarak bulunur:
Örnek: √20 için x = 16 ve y = 25 alınır. √20 ≅ 4 + (20 – 16)/(25 – 16) = 4 + 4/9 ≈ 4,44. Gerçek değer 4,472… olduğundan yaklaşım oldukça yakındır.
Ekran boyutu köşegen uzunluğudur. 40 cm × 30 cm bir ekranın köşegeni √(40² + 30²) = √2500 = 50 cm. Dikkat: √(1600 + 900) ifadesini 40 + 30 diye sadeleştiremezsin — kök toplama ile anlaşmaz.
Kare şeklindeki bir alanın alanı 200 m² ise kenarı √200 = 10√2 ≈ 14,1 m'dir. Kenarın tam sayı çıkmaması normal; √200 sayısı 14 ile 15 arasındadır çünkü 196 < 200 < 225.
Kare bir profil fotoğrafının alanını 4 katına çıkarmak istiyorsan kenarını √4 = 2 katına çıkarman yeterli. Alan kareselken kenar kök alarak geri döner — kök alma, kuvvet almanın ters işlemidir.
Okul (0, 0), evin (3, 4) noktasındaysa kuş uçuşu mesafe √(3² + 4²) = √25 = 5 birim. Navigasyon uygulamalarının "düz çizgi mesafesi" dediği şey tam olarak bu köklü ifadedir.
"Alanı –9 m² olan kare" diye bir şey yok. √(–9) çift dereceli bir kök ve içi negatif; bir köklü ifadede kökün derecesi çift ve kök içindeki sayı sıfırdan küçükse bu köklü ifade bir gerçek sayı belirtmez.
Hacmi 27 cm³ olan küp kutunun kenarı ³√27 = 3 cm. Hacim –27 olsaydı bile ³√(–27) = –3 tanımlıdır — tek dereceli kökte kök içi negatif olabilir. Çift ile tek derece arasındaki fark tam burada.
İki ölçümü karşılaştırırken 5√3 mü büyük 7√2 mi diye baktığında, ikisini de tek kök altına alırsın: √75 ve √98. Kök dereceleri eşit olan köklü ifadelerden kökün içindeki sayısı büyük olan daha büyüktür → 7√2 büyük.
Sınavda √50'yi tahmin etmen gerekirse: 49 < 50 < 64, yani 7 < √50 < 8. Yaklaşık değer formülüyle 7 + (50 – 49)/(64 – 49) = 7 + 1/15 ≈ 7,07. Gerçek değer 7,071 — hesap makinesi olmadan bu kadar yaklaşabiliyorsun.
1/√2 yazmak yerine payı ve paydayı √2 ile çarpıp √2/2 yazarsın. Cevap şıklarında genelde ikinci biçim bulunur; paydayı kökten kurtarmak için paydadaki sayının eşleniği ile pay ve payda çarpılır.
30 sorudan oluşan bu test ile "Köklü İfadeler, Denklem ve Eşitsizlikler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
n ∈ ℤ⁺, n ≥ 2 ve a, x ∈ ℝ olmak üzere xⁿ = a eşitliğini sağlayan x değerlerine a'nın n. kuvvetten kökü denir ve ⁿ√a ile gösterilir.
a > 0 için n tek ise x = ⁿ√a; n çift ise x = +ⁿ√a veya x = –ⁿ√a olur. a < 0 için n tek ise x = ⁿ√a; n çift ise denklemin bir gerçek kökü yoktur. a = 0 ise ⁿ√0 = 0 olur.
n ∈ ℤ⁺ olmak üzere 2n+1√a ifadesinin tanımlı olması için a ∈ ℝ olmalıdır. 2n√a ifadesinin tanımlı olması için a ≥ 0 olmalıdır. Kökün derecesi çift ve kök içindeki sayı sıfırdan küçükse bu köklü ifade bir gerçek sayı belirtmez.
n ∈ ℤ⁺ ve n ≥ 2 olmak üzere x ∈ ℝ için n tek ise ⁿ√(xⁿ) = x, n çift ise ⁿ√(xⁿ) = |x| olarak kök dışına çıkarılır. Kök dereceleri çift olan köklü ifadelerin içleri negatif olamayacağından, içindeki sayılar kök dışına 0 ya da 0'dan büyük çıkarılır.
Kök derecesi ve içi aynı olanlar ortak paranteze alınarak toplanır/çıkarılır. Aynı dereceli kökler çarpılıp bölünebilir: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b) ve b ≠ 0 için ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b). Köklü sayılar arasında dört işlem yapabilmek için önce kök derecelerinin eşit olup olmadığına bakılır; farklıysa eşit hâle getirilir.
Bir köklü ifadenin kuvveti alınırken kök içi o kuvvete yükseltilir. Aynı dereceli iki kök tek kök altında birleşir. İç içe köklerde dereceler çarpılır. Köklü ifadelerde elde edilen her özellik üslü ifadeler yardımıyla ispatlanabilir.
Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel sayıdan her biri diğerinin eşleniği olarak tanımlanır. Köklü rasyonel ifadelerde paydayı kökten kurtarmak için paydadaki sayının eşleniği ile pay ve payda çarpılır. √a sayısının eşleniği √a'dır ve çarpımları a eder.
m, n, a, b ∈ ℝ – {0} olmak üzere √(a ± 2√b) biçimindeki köklü ifadelerde a = m + n ve b = m · n olacak şekilde m ve n bulunur; ifade √m ± √n olarak yazılır. Örnek: √(5 + 2√6) = √3 + √2.
Bilinmeyenin kök içinde olduğu denklemlere köklü denklemler denir; çözümden elde edilen sonucun başlangıçtaki denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir. Sıralamada: dereceleri eşitse içi büyük olan büyüktür; içleri eşitse derecesi küçük olan büyüktür; ikisi de olmuyorsa hangi iki tam sayı arasında olduğuna bakılır. √a ≅ √x + (a – x)/(y – x) ile yaklaşık değer bulunur.