Önce çarpanlara ayır,
sonra sadeleştir.
Payı ve paydası polinom olan ifadelere rasyonel ifade denir. 49 ve 50. ünitede öğrendiğin çarpanlara ayırma burada doğrudan işe yarıyor: sadeleştirme, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme — hepsinin ilk adımı çarpanlara ayırmak.
Konu özetinin tanımı şudur: P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere P(x)/Q(x) şeklindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir. Kesirlerdeki "payda sıfır olamaz" kuralının polinomlardaki karşılığı budur.
Hem pay hem payda birer polinom olmalıdır. Payda sabit bir sayı da olabilir (o zaman ifade zaten bir polinomdur), ama sıfır olamaz.
Paydayı sıfır yapan x değerleri ifadenin tanım kümesinden çıkarılır. (x + 3)/(x – 2) ifadesinde x = 2 yazılamaz; tanım kümesi ℝ – {2} olur.
(x² – 9)/(x – 3) ifadesi sadeleştirilince x + 3 çıkar. Ama x = 3 hâlâ yasaktır; çünkü kısıt, sadeleştirmeden önceki paydaya bakılarak belirlenir. Sadeleşmiş hâl x = 3 için 6 verir, oysa asıl ifade orada tanımsızdır.
Konu özetinin kuralı: rasyonel ifadelerde önce pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılır, varsa ortak olan çarpanlar sadeleştirilerek işlem yapılır. Yani 49 ve 50. ünite olmadan bu ünite yürümez.
Payı çarpanlarına ayır. Ortak çarpan, iki kare farkı, tam kare, üç terimli — hangisi uyuyorsa.
Paydayı çarpanlarına ayır. İki tarafta da çarpım hâline gelmeden sadeleştirme yapılamaz.
Payda ve paydada aynı olan çarpanları karşılıklı sadeleştir; kalanları yaz.
(x + 6)/(x + 2) ifadesinde x'ler karşılıklı çizilemez. Sadeleştirme yalnızca çarpım hâlindeki ifadeler arasında yapılır; toplama ile bağlı terimler arasında yapılamaz.
Pay ile payda ters sıralı görünüyorsa çarpanlardan biri –1 ile çarpılarak eşitlenir. (3 – x)/(x – 3) ifadesinde 3 – x = –(x – 3) yazılır ve ifade –1 olur (x ≠ 3 koşuluyla). Sınavda en çok atlanan sadeleştirme budur.
Konu özetinin kuralı tek cümle: rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken paydalar eşitlenir. Kesirlerdeki payda eşitlemenin aynısı, sayı yerine polinomla.
Her iki kesir de karşı paydayla genişletilir. Çıkarmada ikinci payın tamamı eksiyle çarpılır — parantez unutulursa işaret hatası çıkar.
Paydaları doğrudan çarpmak her zaman doğru sonucu verir ama ifadeyi büyütür. Paydalar çarpanlarına ayrılırsa ortak paydanın en küçüğü bulunur: 1/(x² – 1) + 1/(x + 1) işleminde x² – 1 = (x – 1)(x + 1) olduğu için ortak payda (x – 1)(x + 1) yeterlidir; ikisini çarpmaya gerek yoktur.
Konu özetine göre çarpmada paylar kendi içinde çarpılıp paya, paydalar kendi içinde çarpılıp paydaya yazılır. Bölmede ise bölenin pay ve paydası yer değiştirir ve çarpma işlemi yapılır.
Payda eşitlemeye gerek yok. Ama çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak işlemi çok kısaltır.
Ters çevrilen bölendir, bölünen değil. Ayrıca R(x) ≠ 0 koşulu da eklenir.
Payında ya da paydasında yine kesir bulunan ifadeye bileşik rasyonel ifade denir. Çözüm yolu: üstteki ifade tek kesir hâline getirilir, alttaki ifade tek kesir hâline getirilir, sonra bölme işlemi yapılır. Örneğin (1 + 1/x) / (1 – 1/x) ifadesinde üst (x + 1)/x, alt (x – 1)/x olur; bölünce x'ler sadeleşir ve sonuç (x + 1)/(x – 1) çıkar.
Rasyonel ifade, "bir şeyin başka bir şeye oranı" demek — üstelik oranın içinde bilinmeyen var. Günlük hayatta karşına hep bu biçimde çıkıyor.
8 dilim pizzayı n kişi paylaşınca kişi başına 8/n dilim düşer. Sonradan 2 kişi daha gelirse 8/(n + 2) olur. İkisinin farkı 8/n – 8/(n + 2) — payda eşitleyince 16/[n(n + 2)] çıkar, yani "kaç dilim kaybettin" sorusunun cevabı.
d doğru, y yanlışsa net (d – y/4) olur; 40 soruluk denemede başarı oranı (d – y/4)/40 biçiminde bir rasyonel ifadedir. Payda sabit 40 olduğu için burada paydanın sıfır olma sorunu yok.
Bir sunumu tek başına a saatte bitiren biri saatte 1/a'sını yapar. Arkadaşın b saatte bitiriyorsa ikisi birlikte saatte 1/a + 1/b, yani (a + b)/(ab) kadarını yapar. 24. ünitedeki işçi problemlerinin cebirsel hâli tam olarak budur.
Kare sayısını süreye bölünce FPS çıkar. Kayıt t saniye sürdüyse ve k kare çizildiyse k/t oranı bir rasyonel ifadedir; t = 0 anında "saniyede kaç kare" sorusunun anlamı yoktur — paydanın sıfır olamamasının somut karşılığı.
128 GB'lık telefonda x GB doluysa dolu oran x/128, boş oran (128 – x)/128 olur. İkisinin toplamı 128/128 = 1 eder; payda eşit olduğu için paylar doğrudan toplanır.
Takım m maçta g gol attıysa ortalama g/m'dir. Bir maç daha oynanıp 3 gol atılırsa yeni ortalama (g + 3)/(m + 1) olur. Bu iki ifade sadeleşmez — çünkü ne pay ne payda çarpım hâlinde.
n şarkılık listenin toplam süresi s dakikaysa şarkı başına s/n dakika düşer. Listeye 3 şarkı ekleyince s/(n + 3) olur; n büyüdükçe kesir küçülür, yani ortalama süre düşer.
Gezi otobüsü 3600 TL tutuyorsa n kişi gidince kişi başı 3600/n TL olur. Sınıftan 5 kişi daha katılırsa 3600/(n + 5) düşer. "Kişi başı ne kadar ucuzladı" sorusu iki rasyonel ifadenin farkıdır.
Yol s km, hız v km/sa ise süre s/v saattir. Dönüşte hız v + 4 olursa süre s/(v + 4) olur. Gidiş-dönüş toplam süresi s/v + s/(v + 4) — payda eşitlenerek tek kesir hâline getirilir.
Rasyonel ifade kavramı ve tanım kümesi, sadeleştirme, toplama-çıkarma, çarpma-bölme ve bileşik rasyonel ifadeler üzerine 32 soru.
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere P(x)/Q(x) şeklindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.
Paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılır. (x + 5)/(x² – 4) ifadesinde x ≠ 2 ve x ≠ –2 olmalıdır.
Önce pay ve payda çarpanlarına ayrılır, varsa ortak çarpanlar sadeleştirilerek işlem yapılır.
Toplama ve çıkarmada paydalar eşitlenir; çıkarmada ikinci payın tamamı parantez içinde eksiyle çarpılır.
Paylar kendi içinde çarpılıp paya, paydalar kendi içinde çarpılıp paydaya yazılır.
Bölenin pay ve paydası yer değiştirir ve çarpma işlemi yapılır.
Sadeleştirme yalnız çarpım hâlindeki ifadeler arasında yapılır. (x + 6)/(x + 2) ifadesinde x'ler çizilemez.
(3 – x)/(x – 3) ifadesi –1'e eşittir (x ≠ 3). Ters sıralı çarpanlar –1 ile eşitlenir.
(x² – 9)/(x – 3) sadeleşip x + 3 olsa da x = 3 yasağı devam eder; kısıt sadeleştirmeden önceki paydaya bakılarak yazılır.
Paydalar çarpanlarına ayrılırsa gereksiz büyütme olmaz: 1/(x² – 1) + 1/(x + 1) için ortak payda (x – 1)(x + 1) yeterlidir.
Payında ya da paydasında kesir bulunan ifadede üst ve alt ayrı ayrı tek kesir yapılır, sonra bölme işlemi uygulanır.
Her adımın ilk işi çarpanlara ayırmaktır: ortak çarpan, iki kare farkı ve tam kare 49. üniteden; küp özdeşlikleri ve çapraz çarpım 50. üniteden gelir.