Çarpımı sıfır yapan,
çarpanlardan biridir.
ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir ve en fazla iki kökü vardır. Bu ünitede çözüm yolu çarpanlara ayırma: 49 ve 50. ünitede öğrendiğin her özdeşlik burada kök buluyor.
Konu özetinin tanımı: a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
a, b, c gerçek sayılarına bu denklemin katsayıları denir. a baş katsayıdır ve sıfır olamaz.
Denklemi sağlayan x sayılarına denklemin kökleri denir. x₁ ve x₂ ile gösterilir.
Köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir ve ÇK ile gösterilir.
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin en fazla iki kökü vardır. "En fazla" demek: iki farklı kök çıkabilir, iki kök çakışıp tek değere inebilir ya da gerçek sayılarda hiç kök bulunmayabilir. Hangi durumun geçerli olduğunu 53. ünitedeki diskriminant söyler.
Bu denklem ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem belirtiyorsa iki koşul birden sağlanmalıdır: x³ lü terimin katsayısı sıfır olmalı (a – 5 = 0 ⇒ a = 5) ve x^(2a – b) li terimin üssü 2 olmalıdır (2a – b = 2). a = 5 yazılınca 2 · 5 – b = 2 ve b = 8 bulunur.
Konu özetinin kuralı: ax² + bx + c = 0 denkleminin sol tarafı çarpanlarına ayrılabilen türden ise her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek denklemin kökleri bulunur. Bunun dayanağı şudur: bir çarpım sıfırsa çarpanlardan en az biri sıfırdır.
ax² + bx + c ifadesinde px · qx = ax², m · n = c ve p·n·x + q·m·x = bx olacak biçimde çarpanlar seçilir (50. ünitedeki çapraz çarpım):
Buradan x₁ = –m/p ve x₂ = –n/q bulunur; çözüm kümesi ÇK = {–m/p, –n/q} olur.
(x – 2)(x – 3) = 2 denkleminde "x – 2 = 2 veya x – 3 = 2" denemez. Çarpımın sıfır olması kuralı yalnız sağ taraf 0 iken geçerlidir. Önce parantezler açılıp denklem x² – 5x + 4 = 0 hâline getirilir, sonra çarpanlara ayrılır.
Konu özetine göre çözümde kullanılan yöntemler çarpanlara ayırma — tam kareye tamamlama, iki kare farkı, değişken değiştirme — ve diskriminant yöntemidir. Diskriminant 53. ünitede; burada çarpanlara ayırmanın üç özel hâli var.
ÇK = {–4, 4}. Doğrudan x² = 16 yazıp x = ±4 demek de aynı kapıya çıkar; iki kökü de yazmayı unutmamak gerekir.
Tek çarpan iki kez tekrar ettiği için kökler çakışır: x₁ = x₂ = 3 ve ÇK = {3} — tek elemanlı bir kümedir.
x² + 6x + 5 = 0 denkleminde x² + 6x ifadesini tam kare yapmak için b/2 = 3 alınır ve 3² = 9 eklenip çıkarılır: x² + 6x + 9 – 9 + 5 = 0 ⇒ (x + 3)² – 4 = 0 ⇒ (x + 3)² = 4. Buradan x + 3 = ±2 ve x = –1 ya da x = –5 bulunur. Kare kökü alırken ± işaretinin ikisi de yazılmalıdır.
Dördüncü dereceden görünen bazı denklemler, uygun bir değişken değiştirmeyle ikinci dereceden denkleme dönüşür. 50. ünitedeki değişken değiştirme yöntemi burada kök buluyor.
x² = t denirse denklem t² – 5t + 4 = 0 olur; (t – 1)(t – 4) = 0 ⇒ t = 1 ya da t = 4. Sonra geri dönülür: x² = 1 ⇒ x = ±1 ve x² = 4 ⇒ x = ±2. Dört kök çıkar: ÇK = {–2, –1, 1, 2}. Bu denklem dördüncü dereceden olduğu için "en fazla iki kök" kuralına aykırı değildir.
Kökler bulunduktan sonra küme parantezi içinde yazılır: 3x² + 7x + 4 = 0 denkleminin kökleri x₁ = –4/3 ve x₂ = –1 olduğundan ÇK = {–4/3, –1} olur. Kökler çakışıksa küme tek elemanlıdır; gerçek kök yoksa ÇK = ∅ yazılır.
İkinci dereceden denklem, "bir şey kendisiyle çarpılıyor" durumlarında ortaya çıkıyor: alan, atış yüksekliği, kare biçimli düzenler. İki kök çıkması da rastlantı değil.
Kulüp panosuna asılacak 20 cm × 30 cm poster, her kenarında x cm boşluk kalacak şekilde çerçeveleniyor. Toplam alan (20 + 2x)(30 + 2x) olur; belirli bir alan istendiğinde denklem ikinci dereceden çıkar. Negatif kök burada elenir — uzunluk negatif olamaz.
Havaya atılan topun yüksekliği zamana göre ikinci dereceden bir ifadeyle verilir. "Top hangi anlarda 2 metredeydi" sorusunun iki cevabı vardır: biri çıkarken, biri düşerken. İki kökün somut karşılığı budur.
Kenarı x metre olan kare bahçenin bir kenarı 3 m uzatılırsa alan x(x + 3) olur. Alan 40 m² isteniyorsa x² + 3x – 40 = 0 çıkar; çarpanlara ayrılınca (x + 8)(x – 5) = 0 ve anlamlı kök x = 5 olur.
Ekranın köşegeni inç cinsinden verilir ama en ve boy ayrıdır. Pisagor bağıntısı kareler içerdiği için "eni kaç santim" sorusu ikinci dereceden bir denkleme dönüşür.
n takımın her biri diğerleriyle birer maç yaparsa toplam maç sayısı n(n – 1)/2 olur. "45 maç oynandıysa kaç takım var" sorusu n² – n – 90 = 0 denklemini verir; kökler 10 ve –9 çıkar, anlamlı olan 10 takımdır.
Kare şeklinde bir kolajda satır ve sütun sayısı eşitse toplam fotoğraf sayısı x² olur. 144 fotoğraf yerleştirildiyse x² = 144 ve x = 12 bulunur; x = –12 kökü sayılamayacağı için elenir.
Saha ücreti kişi sayısına bölünür. Katılan kişi sayısı x, kişi başı ödenen 600/x olur. "3 kişi daha gelirse kişi başı 10 TL azalır" cümlesi payda eşitlenince ikinci dereceden bir denkleme dönüşür.
Kare bir haritanın kenarı her güncellemede aynı oranda büyüyorsa yeni alan (x·k)² biçimindedir. Alanın kaç katına çıktığı sorusu kare terimi içerdiğinden ikinci dereceden ifadelerle çalışılır.
Soru başına ayrılan süre ile çözülen soru sayısının çarpımı sabit bir toplam süre verir. Süreyi değiştirip soru sayısını artırma senaryoları, iki değişkenin çarpımı sabit olduğu için yine ikinci dereceden denklemle çözülür.
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramı, katsayılar, kökler, çarpanlara ayırma yöntemiyle çözüm, tam kareye tamamlama, iki kare farkı ve değişken değiştirme üzerine 32 soru.
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere bu biçimdeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
a, b, c katsayılar; denklemi sağlayan x sayıları kökler; köklerin oluşturduğu küme çözüm kümesidir.
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin en fazla iki kökü vardır.
Çarpanlara ayırma (tam kareye tamamlama, iki kare farkı, değişken değiştirme) ve diskriminant yöntemi.
Sol taraf çarpanlarına ayrılabiliyorsa her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
3x + 4x = 7x tuttuğu için çarpanlar doğrudur; x₁ = –4/3, x₂ = –1 ve ÇK = {–4/3, –1} olur.
(a – 5)x³ + 3x^(2a – b) + x – 2 = 0 ikinci dereceden ise a – 5 = 0 ve 2a – b = 2 den a = 5, b = 8 bulunur.
(x – 4)(x + 4) = 0 yazılır; iki kökün de yazılması gerekir, ÇK = {–4, 4}.
(x – 3)² = 0 olduğundan kökler çakışır ve çözüm kümesi tek elemanlıdır.
x² + 6x + 5 = 0 ⇒ (x + 3)² = 4 ⇒ x + 3 = ±2 ⇒ x = –1 veya x = –5. Kare kökte ± unutulmaz.
x² = t denir, t² – 5t + 4 = 0 çözülür, sonra x² = t eşitliğinden geri dönülür.
Çarpımın sıfır olması kuralı yalnız sağ taraf 0 iken geçerlidir. (x – 2)(x – 3) = 2 denkleminde çarpanlar 2 ye eşitlenemez.