Kökleri bulmadan
kaç kök var söyler.
Δ = b² – 4ac. Tek bir çıkarma işlemi, denklemin iki kökü mü, çakışık tek kökü mü, yoksa hiç gerçek kökü mü olduğunu söyler. 52. ünitede çarpanlara ayrılamayan denklemler burada çözülüyor.
Konu özetinin tanımı: a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin köklerini veren bağıntıda b² – 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve Δ (delta) ile gösterilir.
Yalnız katsayılardan hesaplanır. Kökleri bulmaya gerek kalmadan kaç kök olduğunu söyler.
İki kök yalnız √Δ'nın işaretiyle ayrılır. Δ = 0 olunca bu fark kaybolur ve iki kök aynı değere iner.
b ya da c negatifken formülde parantez unutulursa Δ yanlış çıkar. x² + 5x – 6 = 0 denkleminde Δ = 5² – 4 · 1 · (–6) = 25 + 24 = 49 olur; eksinin eksiyle çarpımı artı verdiği için Δ büyür. Aynı şekilde b = –6 iken b² = (–6)² = 36 yazılır, –36 değil.
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminde konu özetinin verdiği üç durum:
Denklemin iki farklı gerçek kökü vardır. Denklemin çözüm kümesi iki elemanlıdır.
Denklemin kökleri birbirine eşittir (çakışık iki kök). Denklem tam kare ifadedir. Çözüm kümesi bir elemanlıdır.
Bu denklemin gerçek kökleri yoktur. Gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesi boş kümedir: ÇK = ∅.
9x² – 6x + 1 = 0 denkleminde Δ = (–6)² – 4 · 9 · 1 = 36 – 36 = 0 çıkar. Gerçekten de sol taraf (3x – 1)² tam karesidir. Yani "Δ = 0" ile "sol taraf tam kare" aynı şeyi söyleyen iki ayrı ifadedir.
Sıra hep aynı: katsayıları yaz, Δ'yı hesapla, işaretine bak, sonra kök formülünü uygula. Diskriminant yöntemi çarpanlara ayrılamayan denklemlerde de çalışır — asıl gücü budur.
a = 1, b = 5, c = –6. Δ = 25 + 24 = 49 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kök vardır: x₁ = (–5 + 7)/2 = 1 ve x₂ = (–5 – 7)/2 = –6. Buradan ÇK = {–6, 1} olur.
a = 9, b = –6, c = 1. Δ = 36 – 36 = 0 olduğundan kökler çakışıktır: x₁ = x₂ = –b/(2a) = 6/18 = 1/3 ve ÇK = {1/3} olur.
Δ = 0 iken kök formülünde √Δ = 0 olur ve iki kök de –b/(2a) değerine iner. Yani Δ sıfır çıktıysa kökü tek işlemle yazabilirsin; ayrıca hesaplamaya gerek yok.
Diskriminantın en çok soru çıkan kullanımı budur: katsayılardan biri bilinmiyor ve denklemin kök durumu isteniyor. O zaman Δ bilinmeyene bağlı bir ifade olur ve işareti hakkında koşul yazılır.
Δ > 0 yazılır. x² + 4x + k = 0 için 16 – 4k > 0 ⇒ k < 4.
Δ = 0 yazılır. 16 – 4k = 0 ⇒ k = 4. Bu değerde sol taraf (x + 2)² olur.
Δ < 0 yazılır. 16 – 4k < 0 ⇒ k > 4. Parabol x eksenine hiç değmez.
Soru "iki farklı gerçek kök" diyorsa Δ > 0 yazılır. Yalnızca "gerçek kökü vardır" deniyorsa çakışık kök de sayılır ve Δ ≥ 0 yazılır. Bir de a ≠ 0 koşulu unutulmamalı: baş katsayı da bilinmiyorsa denklemin ikinci dereceden kalması ayrıca istenmelidir.
Diskriminant aslında şu soruyu cevaplıyor: "Bu durum hiç gerçekleşiyor mu, bir kez mi, iki kez mi?" Günlük hayatta bu üç seçenek sık sık karşına çıkıyor.
Topun yüksekliği zamana göre ikinci dereceden bir ifadeyle verilir. "Top 3 metreye çıktı mı" sorusunda Δ > 0 ise iki kez (çıkarken ve düşerken), Δ = 0 ise tam tepe noktasında bir kez, Δ < 0 ise hiç çıkmamıştır.
Oyun motorları "mermi hedefe değiyor mu" hesabını ikinci dereceden bir denklemin diskriminantıyla yapar. Δ < 0 ise yollar hiç kesişmez, yani ıska geçilir.
Bilet fiyatı arttıkça satış düşer; gelir, fiyatın ikinci dereceden bir ifadesi olur. "12.000 TL gelir mümkün mü" sorusunun cevabı Δ'nın işaretidir; Δ < 0 çıkarsa o hedefe hiçbir fiyatla ulaşılamaz.
Elindeki çit uzunluğu sabitken çevrelenen alan ikinci dereceden bir ifadedir. İstenen alan için Δ = 0 çıkıyorsa o alan en büyük alandır ve tek bir ölçüyle elde edilir.
Platformdan platforma zıplarken karakterin yolu paraboldür. Δ, "bu boşluğu geçebilir mi" sorusunun matematiksel karşılığıdır: kök yoksa karakter karşı kenara hiç ulaşmaz.
Kemerli köprülerin kesiti parabole yakındır. "Şu yükseklikteki araç geçebilir mi" sorusu, yatay bir doğrunun parabolü kesip kesmediğine bakar — yine Δ hesabı.
Serbest vuruşta topun yörüngesi ile kale çizgisinin kesişimi kök sayısıdır. Δ = 0 durumu tam olarak direğe sıyırarak değme hâlidir — teğet geçiş.
Fotoğrafın çevresine eşit kalınlıkta pervaz eklerken belirli bir toplam alan isteniyorsa denklem ikinci dereceden olur. Δ < 0 çıkarsa o alan hiçbir kalınlıkla elde edilemez, yani istek imkânsızdır.
Doğru ve yanlış sayısı arasında kurulan ilişkiler bazen kare terim içerir. Böyle bir hedef için Δ < 0 çıkması "bu hedefe uyan bir doğru-yanlış dağılımı yok" demektir; hesap yapmadan denemekten daha hızlı bir eleme yolu.
Diskriminant kavramı, kök formülü, Δ nın işaretine göre üç durum, konu özetindeki örnekler ve parametreli denklemlerde kök koşulları üzerine 32 soru.
ax² + bx + c = 0 denkleminin köklerini veren bağıntıda b² – 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir.
İki kök yalnız √Δ nın işaretiyle ayrılır; payda her ikisinde de 2a dır.
Denklemin iki farklı gerçek kökü vardır; çözüm kümesi iki elemanlıdır. Parabol x eksenini iki noktada keser.
Kökler birbirine eşittir (çakışık iki kök), denklem tam kare ifadedir ve çözüm kümesi bir elemanlıdır.
Denklemin gerçek kökleri yoktur; gerçek sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir, ÇK = ∅ olur.
Δ = 0 iken kök formülünde √Δ = 0 olur ve iki kök de –b/(2a) değerine iner.
Δ = 25 + 24 = 49 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kök vardır: 1 ve –6.
Δ = 36 – 36 = 0 olduğundan kökler çakışıktır ve x₁ = x₂ = 6/18 = 1/3 tür.
c negatifken –4ac terimi artıya döner: c = –6 için –4 · 1 · (–6) = +24. b negatifken b² pozitiftir.
x² + 4x + k = 0 için Δ = 16 – 4k. İki farklı kök: k < 4; çakışık kök: k = 4; gerçek kök yok: k > 4.
"İki farklı gerçek kök" için Δ > 0, yalnız "gerçek kökü vardır" için Δ ≥ 0 yazılır; ikincisinde çakışık kök de sayılır.
Δ, parabolün x eksenini kaç noktada kestiğini söyler: iki, bir (teğet) ya da hiç.