Karesi –1 olan
bir sayı tanımla.
53. ünitede Δ < 0 olan denklemlerin gerçek kökü yoktu. Gerçek sayılar kümesini kapsayan yeni bir küme tanımlanınca o denklemler de çözülüyor: ℂ = karmaşık sayılar kümesi.
Konu özetinin gerekçesi şu: a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminde Δ = b² – 4ac < 0 ise bu denklemin ℝ de (gerçek sayılarda) çözüm kümesi yoktur. Bu durumda çözüm kümesini bulabilmek için gerçek sayılar kümesini de kapsayan yeni bir sayı kümesine ihtiyaç vardır.
Bu yeni sayı kümesine karmaşık sayılar kümesi denir ve ℂ ile gösterilir.
Her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır. 5 sayısı da bir karmaşık sayıdır; b = 0 olan özel hâlidir (5 = 5 + 0i).
Konu özetine göre √–1 = i sayısına sanal sayı birimi denir. "Sanal" adı, sayının uydurma olduğunu değil, gerçek sayı doğrusunda yer almadığını anlatır; matematikte ve mühendislikte gerçek hesaplarda kullanılır.
Konu özetinin tanımı: a, b ∈ ℝ ve i sanal sayı birimi (i² = –1) olmak üzere z = a + bi şeklindeki sayılara karmaşık sayılar denir. ℂ = {z: z = a + bi ve a, b ∈ ℝ, i = √–1} şeklindedir.
z = 3 – 5i sayısında Re(z) = 3 tür.
z = 3 – 5i sayısında İm(z) = –5 tir; i'nin kendisi değil, katsayısı yazılır.
b = 0 ise z = a olur ve sayı bir gerçek sayıdır — ℝ ⊆ ℂ kapsamasının sebebi budur. a = 0 ve b ≠ 0 ise z = bi olur; bu tür sayılara saf sanal (yalnız imajiner) sayı denir. İkisi birden sıfırsa z = 0 dır.
Konu özetinin verdiği liste: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = –1, i³ = –i, i⁴ = 1. Dördüncü kuvvette başa dönüldüğü için i'nin kuvvetleri dörder dörder tekrar eder.
i³ = i² · i = (–1) · i = –i biçiminde bulunur; i⁴ = i² · i² = (–1)(–1) = 1 olur.
n ve k tam sayı olmak üzere: n = 4k ise iⁿ = 1, n = 4k + 1 ise iⁿ = i, n = 4k + 2 ise iⁿ = –1, n = 4k + 3 ise iⁿ = –i olur.
i⁴⁵ hesaplanırken 45 sayısı 4 e bölünür: 45 = 4 · 11 + 1. Kalan 1 olduğu için i⁴⁵ = i dir. Kalan 0 ise 1, 1 ise i, 2 ise –1, 3 ise –i çıkar. Ayrıca ardışık dört kuvvetin toplamı sıfırdır: i + i² + i³ + i⁴ = i – 1 – i + 1 = 0.
Konu özetine göre a, b ∈ ℝ olmak üzere z = a + bi karmaşık sayısının sanal kısmının işareti değiştirilerek oluşturulan a – bi karmaşık sayısına z'nin eşleniği denir.
Gerçek kısım aynı kalır, yalnız imajiner kısmın işareti değişir. z = 3 – 5i sayısının eşleniği 3 + 5i dir.
Δ = b² – 4ac < 0 ise denklemin karmaşık sayılar kümesinde çözümü vardır; kök formülü aynen kullanılır.
ax² + bx + c = 0 denkleminin bir kökü m + ni ise diğer kök m – ni dir; yani kökler birbirinin eşleniğidir. Bu yüzden karmaşık kökler her zaman ikili hâlde gelir — bir denklemin yalnız bir karmaşık kökü olamaz.
Karmaşık sayılar hesap kolaylığı için tanımlandı ama kullandığın pek çok teknolojinin içinde çalışıyorlar. Aşağıdakiler karmaşık sayıların gerçekten kullanıldığı yerler.
Şarkı çalarken zıplayan eşitleyici çubukları, sesi frekanslarına ayıran bir hesabın sonucudur. Bu hesap (Fourier dönüşümü) karmaşık sayılarla yapılır: her frekansın hem şiddeti hem gecikmesi tek bir karmaşık sayıda taşınır.
Düzlemde bir noktayı i ile çarpmak, onu orijin etrafında 90° döndürmek demektir: 1 → i → –1 → –i → 1. Karakteri ya da haritayı döndürme işlemleri bu mantığın üzerine kurulur.
Dışarıdaki sesin tersini üretip sessizlik oluşturan kulaklıklar, sesin frekans ve faz bilgisini işler. Faz (dalganın ne kadar kaydığı) karmaşık sayıların imajiner kısmıyla temsil edilir.
Evdeki elektrik alternatif akımdır; gerilim ve akım sürekli salınır. Elektrik mühendisleri bu salınımı tek tek hesaplamak yerine karmaşık sayılarla gösterir — böylece toplama ve çarpma işlemleri çok kısalır.
İnternette gördüğün sonsuz detaylı fraktal görseller (Mandelbrot kümesi), karmaşık düzlemdeki her nokta için z² + c işleminin tekrar tekrar uygulanmasıyla üretilir. Rengi belirleyen şey, sonucun büyüyüp büyümediğidir.
Telefonun baz istasyonuyla konuşurken sinyal, genlik ve faz çiftiyle kodlanır. Bu çift tam olarak bir karmaşık sayıdır; modern haberleşmenin temel gösterimidir.
Bulanıklaştırma ve keskinleştirme filtreleri, görüntüyü frekanslarına ayırıp bazı frekansları azaltarak çalışır. Buradaki dönüşüm de karmaşık sayılar üzerinden yürür.
Sönümlenerek duran bir salıncağın hareketi, ikinci dereceden bir denklemin köklerine bağlıdır. Δ < 0 çıkması "salınarak söner" demektir; kökler karmaşıktır ve imajiner kısım salınım hızını verir.
ℂ tanımlandıktan sonra "her n. dereceden denklemin n kökü vardır" cümlesi istisnasız doğru olur. Gerçek sayılarda "kök yok" denilen her durum, karmaşık sayılarda bir cevaba kavuşur.
Karmaşık sayılara duyulan ihtiyaç, a + bi biçimi, gerçek ve imajiner kısım, sanal sayı biriminin kuvvetleri, eşlenik ve Δ < 0 iken denklem çözümü üzerine 32 soru.
Δ = b² – 4ac < 0 iken denklemin ℝ de çözüm kümesi yoktur; bu yüzden gerçek sayıları da kapsayan yeni bir kümeye ihtiyaç duyulur.
Bu yeni sayı kümesine karmaşık sayılar kümesi denir ve ℂ ile gösterilir.
Her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır; b = 0 olan hâli gerçek sayıyı verir.
√–1 = i sayısına sanal sayı birimi denir.
İmajiner kısım i nin kendisi değil katsayısıdır: z = 3 – 5i için İm(z) = –5 tir.
Dördüncü kuvvette başa dönülür; kuvvetler dörder dörder tekrar eder.
n = 4k ⇒ iⁿ = 1; n = 4k + 1 ⇒ iⁿ = i; n = 4k + 2 ⇒ iⁿ = –1; n = 4k + 3 ⇒ iⁿ = –i.
Üs 4 e bölünür, kalana bakılır: i⁴⁵ te 45 = 4·11 + 1 olduğundan i⁴⁵ = i dir.
i – 1 – i + 1 = 0 olur; ardışık dört kuvvetin toplamı her zaman sıfırdır.
Sanal kısmın işareti değiştirilerek oluşturulan sayıya z nin eşleniği denir.
Δ < 0 ise denklemin karmaşık sayılar kümesinde çözümü vardır; kökler yine (–b ± √Δ)/(2a) formülüyle bulunur.
Bir kök m + ni ise diğer kök m – ni dir; karmaşık kökler her zaman ikili hâlde gelir.