Aynı biçim,
farklı boy.
Benzer üçgenlerde açılar eşit, kenarlar orantılıdır. Tek bir sayı — benzerlik oranı k — yüksekliği de, açıortayı da, çevreyi de birlikte ölçekler. Ağaç boyunu gölgesinden hesaplamak bu yüzden mümkün.
Konu özetinin tanımı: karşılıklı köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ve karşılıklı açıların ölçüleri eşit olan üçgenlere benzer üçgenler denir. Benzerlik ~ sembolü ile gösterilir.
Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
Karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır; bu ortak orana benzerlik oranı k denir.
Geometri, matematiğin somut ve görsel bir yönüdür ve günlük hayatta da sıklıkla karşımıza çıkar. Konu özetinin verdiği üç örnek:
Satranç taşı olan at figürü kullanılarak aynı iki model ve farklı boyutta olan taşlar benzerdir · Aldığınız ayakkabılarda aynı modellerin farklı numaraları benzerdir · Bir görselin üçgen şeklinde iki farklı boyutta resmi çekildiğinde bu üçgenler benzerdir.
Oran kurulurken karşılıklı kenarlar bölünür. ABC ~ DEF ise a kenarı d kenarına karşılık gelir; a/e ya da a/f yazmak sonucu bozar. Karşılıklı kenarı bulmanın en kolay yolu, eşit açıların karşısındaki kenarları eşlemektir.
Konu özeti: iki üçgen verildiğinde üçgenlerin benzer olup olmadığını belirlemek için A.A., K.K.K. ve K.A.K. kurallarından birine uyup uymadığına bakılır.
İki üçgen arasındaki bire bir eşlemede karşılıklı ikişer açının ölçüleri eşit ise bu üçgenlere benzerdir denir.
Köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olan üçgenler benzer olur.
Karşılıklı iki kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açıların ölçüleri eşit olan üçgenler benzer olur.
Bir üçgende iç açılar toplamı 180° olduğu için iki açı bilinince üçüncüsü zorunlu olarak bilinir. Bu yüzden benzerlikte A.A. yeterlidir — eşlikte ise A.A.A. bile yetmiyordu, çünkü orada büyüklüğün de tutması gerekiyordu.
Konu özeti: benzer üçgenlerin karşılıklı yüksekliklerinin, açıortaylarının, kenarortaylarının uzunluklarının ve çevre uzunluklarının oranı aynı benzerlik oranına sahiptir.
Benzer üçgenlerde taban k katına, o tabana ait yükseklik de k katına çıktığı için alan k² katına çıkar. Konu özeti uzunluk ve çevre oranlarını sayıyor; alan oranı bu iki bilgiden doğrudan çıkarılır ve sınavda sık sorulur.
Benzerliğin sınavda en çok kullanılan üç sonucu burada.
Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı farklı noktalarda kesen doğru, kestiği kenarlar üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçgenin diğer kenarına paralel olur. Bu doğru parçasına üçgenin orta tabanı denir.
Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
Temel orantı teoreminde iki ayrı orantı yazılabilir: |AD|/|DB| = |AE|/|EC| (parça / parça) ve |AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC| (parça / bütün). |DE|/|BC| oranı yalnız ikinci grupta yer alır; |DE| ile |DB| aynı orantıya girmez. Soruda hangisinin istendiğini şekilden okumak gerekir.
Konu özeti iki modelleme veriyor: tahterevalli ve ışık kaynağı ile oluşan gölge boyu. İkisinde de bilinmeyen uzunluklar temel orantı teoremi kullanılarak hesaplanır.
Güneş ışınları paralel geldiği için çubuğun ve ağacın gölgeleriyle oluşan iki üçgende güneş açısı ortaktır; ikisi de yere dik durduğu için birer açıları da 90° dir. İki açı eşit olduğundan A.A. kuralıyla üçgenler benzerdir ve boy / gölge oranı ikisinde de aynıdır.
Ölçmeye gidemediğin her uzunluk, benzerlikle hesaplanabilir bir uzunluğa dönüşüyor.
Boyun 1,60 m, gölgen 2 m, direğin gölgesi 10 m ise direk 8 m dir. Aynı anda ölçmen şart — güneşin açısı değişirse oran bozulur.
Fotoğrafı köşesinden çekiştirerek büyütürsen benzerlik bozulur, görüntü ezilir. Köşeden çapraz büyütmek k oranını her yönde aynı tuttuğu için biçimi korur.
1/72 ölçekli makette bütün uzunluklar 72'ye bölünür ama yüzey alanı 72² = 5184 e bölünür. Bu yüzden makete gereğinden çok az boya yeter.
Harita ile arazi benzerdir; ölçek benzerlik oranının kendisidir. 3. ünitede öğrendiğin "alanda paydanın karesi" kuralı da buradan gelir.
Konu özetinin modeli: tahterevallinin iki kolu ve yerle yaptığı üçgenler benzer olduğu için bir uçtaki yükselme, öteki uçtaki alçalmayla orantılıdır.
Sınıfta projeksiyonu duvardan uzaklaştırınca görüntü büyür ama yazılar bozulmaz; cihaz ile perde arasındaki üçgenler benzer kalır.
Konu özetinin tuğla-merdiven örneği: eşit yükseklikteki tuğlalar korkuluk doğrusunu orantılı parçalara böler — Thales teoreminin ta kendisi.
Üçgen rafa ara bölme takarken bölmeyi kenara paralel koyarsan iki yan kenarı orantılı böler; nereye takacağını temel orantı teoremiyle hesaplarsın.
Konu özetinin kendi örneği: aynı modelin farklı numaraları benzerdir. Biçim aynı, bütün uzunluklar aynı oranda büyümüştür.
Benzerliğin tanımı ve benzerlik oranı, A.A. / K.K.K. / K.A.K. benzerlik kuralları, oranın yükseklik-açıortay-kenarortay-çevre-alana taşınması, temel orantı teoremi, orta taban, Thales teoremi ve gölge modellemesi üzerine 32 soru.
Karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ve karşılıklı açıların ölçüleri eşit olan üçgenlere benzer üçgenler denir; ~ sembolüyle gösterilir.
Karşılıklı kenarların ortak oranına benzerlik oranı k denir.
Karşılıklı ikişer açının ölçüleri eşitse üçgenler benzerdir. Üçüncü açı 180° kuralından kendiliğinden eşit çıkar.
Karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olan üçgenler benzerdir.
Karşılıklı iki kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açıların ölçüleri eşit olan üçgenler benzerdir.
Benzer üçgenlerin karşılıklı yükseklik, açıortay, kenarortay uzunluklarının ve çevre uzunluklarının oranı da k dır.
Taban ve yükseklik k katına çıktığı için alan k² katına çıkar.
Bir kenara paralel olan ve diğer iki kenarı kesen doğru, kestiği kenarlar üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
|DE|/|BC| oranı yalnız bu grupta yer alır; parça/parça orantısına girmez.
İki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısı kadardır.
Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
Güneş ışınları paralel, cisimler yere dik olduğu için A.A. gereği üçgenler benzerdir; boy/gölge oranı ikisinde de aynıdır.