Kökleri bulmadan
toplamını bil.
x₁ + x₂ = –b/a ve x₁ · x₂ = c/a. Kökler kesirli, köklü ya da karmaşık olsa bile toplamları ve çarpımları katsayılardan tek bakışta okunur. Sınavda kök bulmadan çözülen soruların anahtarı budur.
Konu özetinin bağıntıları: a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise x₁ + x₂ = –b/a ve x₁ · x₂ = c/a olur.
Başındaki eksi işareti unutulmamalı. b = 0 ise kökler toplamı sıfırdır, yani kökler birbirinin ters işaretlisidir.
Burada eksi yoktur. c = 0 ise köklerden biri sıfırdır, çünkü çarpım ancak öyle sıfır olur.
2x² – 10x + 6 = 0 denkleminde kökler toplamı –(–10)/1 değil, –(–10)/2 = 5 tir; çarpım da 6/2 = 3 tür. Bağıntılarda payda her zaman a dır. Denklemi önce a ya bölmek de aynı sonucu verir.
Köklerin toplamına T, çarpımına Ç dersek; kökleri içeren pek çok ifade bu ikisiyle yazılabilir. Böylece kökleri tek tek bulmadan sonuç çıkar — kökler kesirli ya da köklü olduğunda büyük kolaylık.
Paydalar eşitlenince pay T, payda Ç olur; katsayı cinsinden –b/c dir.
(x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² açılımından 2Ç çıkarılarak elde edilir (49. ünite).
Kökler arasındaki uzaklığın karesidir; Δ ile doğrudan bağlantılıdır.
50. ünitedeki küplerin toplamı özdeşliğinden gelir: T(T² – 3Ç) biçiminde de yazılır.
(x₁ – x₂)² = T² – 4Ç ifadesinde T = –b/a ve Ç = c/a yazılırsa (b² – 4ac)/a², yani Δ/a² çıkar. Karekökü alınınca kökler arasındaki uzaklık bulunur. Δ = 0 iken bu uzaklık sıfırdır — kökler çakışıktır.
Konu özetinin verdiği yol: kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem yazılırken önce T = x₁ + x₂ değeri bulunur, sonra Ç = x₁ · x₂ değeri bulunur, son olarak bu değerler x² – Tx + Ç = 0 denkleminde yerine yazılır.
ax² + bx + c = 0 denkleminin her iki tarafı a ile bölünürse x² + (b/a)x + c/a = 0 olur. Burada b/a = –(x₁ + x₂) ve c/a = x₁ · x₂ yazılırsa denklem x² – (x₁ + x₂)·x + x₁ · x₂ = 0 biçimine gelir. Ortadaki terimde eksi, sondaki terimde çarpım bulunur.
Denklem x² – Tx + Ç = 0 biçimindedir; sondaki terim köklerin çarpımıdır, toplamı değil. Kökleri 2 ve 5 olan denklem x² – 7x + 10 = 0 dur (7 = toplam, 10 = çarpım). Ayrıca bu denklemin her iki tarafı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılırsa (2x² – 14x + 20 = 0 gibi) kökler değişmez; yani aynı köklere sahip sonsuz denklem vardır.
Kökleri hiç hesaplamadan işaretleri hakkında yorum yapılabilir. Sıra önemlidir: önce çarpım köklerin aynı işaretli mi zıt işaretli mi olduğunu söyler, sonra toplam hangi yöne ağır bastığını söyler. (Bunlar için Δ ≥ 0, yani köklerin gerçek olması gerekir.)
İki kök de pozitiftir. Çarpım artıysa işaretler aynıdır; toplam da artıysa ikisi de artıdır.
İki kök de negatiftir. İşaretler aynı ama toplam eksi olduğu için ikisi de eksidir.
Kökler zıt işaretlidir. Toplamın işareti, mutlak değerce büyük olan kökün işaretini verir.
"İki sayının toplamı şu, çarpımı bu" cümlesi kurulduğu anda kök-katsayı ilişkisi devreye giriyor. Günlük hayatta bu ikili sık sık karşına çıkıyor.
Kulüp odasına alınacak masanın çevresi ve alanı biliniyorsa en ile boy, toplamı ve çarpımı bilinen iki sayıdır. Kenarlar x² – Tx + Ç = 0 denkleminin kökleridir.
"İkinizin toplam neti 60, çarpımı 875" bilgisi verildiğinde tek tek denemek yerine x² – 60x + 875 = 0 kurulur; kökler 25 ve 35 çıkar.
Toplamı 100 TL olan iki miktarın çarpımı verildiyse miktarlar bir denklemin kökleridir. Çarpım artı ve toplam artı olduğu için iki miktarın da pozitif çıkacağını hesaplamadan söyleyebilirsin.
Topun belirli bir yüksekliğe ulaştığı iki an, bir denklemin iki köküdür. Bu iki anın ortalaması tam olarak tepe noktasına denk gelir — çünkü kökler toplamının yarısı simetri eksenidir.
Belirli bir çevre ve alana sahip dikdörtgen tasarlanmak isteniyorsa, uygun ölçü bulunup bulunamayacağı Δ ile anlaşılır. Δ < 0 çıkarsa o çevre-alan ikilisi hiçbir dikdörtgende bir arada bulunmaz.
Bir merminin iki hedefe değdiği noktalar denklemin kökleridir. İki hedef arasındaki mesafe |x₁ – x₂| = √Δ / |a| ile kök bulunmadan hesaplanabilir.
"Maçta toplam 5 gol, çarpımı 6" bilgisiyle skor doğrudan bulunur: x² – 5x + 6 = 0 ⇒ 2 ve 3. Toplam ve çarpım, iki sayıyı belirlemek için çoğu zaman yeterlidir.
İki bölümdeki soru sayısının toplamı ve çarpımı verildiğinde bölüm başına düşen sayılar kök olur. Çarpım eksi çıkarsa bir tanesinin negatif olması gerekir ki bu anlamsızdır — yani soru hatalıdır.
"Kökleri x₁ ve x₂ olan denklemde 1/x₁ + 1/x₂ kaçtır" tipi sorularda kökleri bulmak zaman kaybıdır; T/Ç = –b/c doğrudan yazılır. TYT'de kazandığın süre burada.
Köklerin toplamı ve çarpımı bağıntıları, ispatları, T ve Ç cinsinden simetrik ifadeler, kökleri verilen denklemi kurma ve köklerin işareti üzerine 32 soru.
ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise köklerin toplamı –b/a dır; baştaki eksi unutulmamalıdır.
Köklerin çarpımı c/a dır; bu bağıntıda eksi işareti yoktur.
T = x₁ + x₂ ve Ç = x₁ · x₂ bulunur, bu değerler x² – Tx + Ç = 0 denkleminde yerine yazılır.
Ortadaki terimde eksi, sondaki terimde köklerin çarpımı bulunur.
Paydalar eşitlenince pay köklerin toplamı, payda köklerin çarpımı olur.
(x₁ + x₂)² açılımından 2x₁x₂ çıkarılarak elde edilir.
Kökler arasındaki uzaklığın karesidir; katsayı cinsinden Δ/a² ye eşittir.
Δ = 0 iken uzaklık sıfırdır, yani kökler çakışıktır.
50. ünitedeki küplerin toplamı özdeşliğinden gelir; T(T² – 3Ç) biçiminde de yazılabilir.
Ç > 0 ise kökler aynı işaretli, Ç < 0 ise zıt işaretlidir. Aynı işaretliyken yönü T belirler.
b = 0 ise kökler toplamı sıfırdır (kökler ters işaretlidir); c = 0 ise köklerden biri sıfırdır.
Baş katsayı 1 değilken payda a dır: 2x² – 10x + 6 = 0 için T = 5, Ç = 3 tür.