Ortalama tek başına
yeterli değil.
İki sınıfın not ortalaması da 60 olabilir; birinde herkes 58-62 arasındadır, ötekinde yarısı 20 yarısı 100 alır. Bu farkı açıklık ve standart sapma gösterir. Ortalama, tepe değer ve ortanca ise verinin merkezini üç ayrı gözle okur.
Konu özetinin tanımı: bir sonuç çıkarmak ya da çözüme ulaşabilmek için gözlem, deney, araştırma gibi yöntemlerle elde edilen her bilgiye veri denir. Veriler, alabildikleri değerlere göre ikiye ayrılır.
Belirli bir aralıktaki her gerçek sayı değerini alamayan verilerdir. Aradaki değerler yoktur, sayım yapılır.
Sınıftaki öğrenci sayısı, bir maçta atılan gol sayısı, kardeş sayısı, çözülen soru sayısı. 15 ile 16 arasında bir gol sayısı bulunmaz.
Belirli bir aralıktaki her gerçek sayı değerini alabilen verilerdir. Ölçüm yapılır, ölçüm aleti hassaslaştıkça ara değerler görünür.
Boy, kütle, sıcaklık, koşu süresi. 1,62 m ile 1,63 m arasında 1,6237 m gibi bir boy pekâlâ vardır.
Sınav puanı 87,5 gibi ondalıklı da çıkabildiği için ölçüm gibi görünür; ama bir öğrencinin kardeş sayısı 2,4 olamaz. Ayrım verinin nasıl yazıldığında değil, ara değerlerin var olup olmadığındadır.
Üçü de veri grubunun merkezini gösterir ama üçü de aynı şeyi söylemez. Uç bir değer geldiğinde hangisinin kaydığı, hangisinin yerinde kaldığı sınavda sorulan asıl ayrımdır.
Tüm verilerin toplanıp veri sayısına bölünmesiyle elde edilir, X̄ ile gösterilir. Veri grubunun genel durumu hakkında bilgi verir.
Bir veri grubunda en çok tekrar eden veridir. Bir dağılımın birden fazla tepe değeri olabilir; hiç tekrar yoksa tepe değer bulunmaz.
Veriler sıralandıktan sonra tam ortadaki değerdir. Her veri grubu için yalnız bir ortanca vardır.
9 veri varsa (9 + 1)/2 = 5. terim ortancadır. Ortanca veri grubunun içindeki bir değerdir.
10 veri varsa 5. ve 6. terimin ortalaması alınır. Bu durumda ortanca veri grubunda bulunmayan bir sayı çıkabilir.
Tepe değer ve ortanca, veri grubundaki uç değerlerden aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenir. Bir sınıfta herkes 50-60 alırken bir kişinin 100 alması ortalamayı yukarı çeker; ortanca ise yerinde kalır. Bu yüzden uç değer bulunan veri gruplarında ortanca daha güvenilir bir merkez ölçüsüdür.
Merkezi eğilim ölçüleri verinin nerede toplandığını söyler; merkezi yayılım ölçüleri ise ne kadar dağıldığını söyler. En basiti açıklıktır.
Bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Bir veri grubunda bulunan en küçük sayıya en küçük değer, en büyük sayıya en büyük değer denir.
Açıklık büyükse veri grubu heterojendir; uç değerler arasındaki fark yüksektir. Açıklık küçükse veri grubu homojendir; uç değerler arasındaki fark azdır, veriler birbirine yakındır.
Sadece açıklık değerine bağlı yapılacak yorumlar yüzeyseldir. Açıklık yalnız iki uca bakar, aradaki verileri hiç görmez. Bu yüzden aynı açıklığa sahip iki grup bambaşka dağılmış olabilir — asıl yayılım ölçüsü standart sapmadır.
Standart sapma, ölçme sonuçlarına ilişkin veri grubunu niteleyen ve veri grubundaki ölçme sonuçlarının yayılımı hakkında bilgi veren bir ölçüdür, S ile gösterilir. Aynı zamanda verilerin aritmetik ortalamadan uzaklıklarının bir ölçüsüdür.
Paydanın n değil n – 1 olduğuna dikkat: konu özeti "bulunan değer toplam gözlem sayısının bir eksiğine bölünerek karekökü alınır" diyor.
Veri grubuna ait verilerin aritmetik ortalaması hesaplanır.
Her ölçümün aritmetik ortalamadan farkı alınır.
Bulunan farkların kareleri alınıp toplanır.
Bulunan değer toplam gözlem sayısının 1 eksiğine bölünerek karekökü alınır.
Standart sapma küçükse grubun puanları düzenli, tutarlı, güvenli ve istikrarlıdır; veri grubu homojenlik gösterir, puanlar birbirlerine ve ortalamaya yakındır.
Standart sapma büyükse grubun puanları düzensiz, tutarsız ve istikrarsızdır; veri grubu heterojenlik gösterir, puanlar birbirlerine ve ortalamaya uzaktır.
Farkların kareleri toplandığı için pay hiçbir zaman negatif olamaz; karekök de negatif çıkmaz. Bütün veriler birbirine eşitse her fark sıfır olur ve S = 0 çıkar. Standart sapmanın sıfır olması, grupta hiç yayılım olmadığı anlamına gelir.
Aynı sayıya bakıp farklı sonuç çıkarmak çoğu zaman hangi ölçüye baktığınla ilgilidir.
Beş denemede 62, 65, 63, 64, 66 net yapan biriyle 40, 90, 45, 88, 57 yapan birinin ortalaması yakın olabilir. İkincisinin standart sapması çok büyüktür; sınav günü hangi neti yapacağı belirsizdir.
Bir oyuncunun maç başına ortalama 12 sayısı vardır. Maçlarda 11-12-13 atıyorsa koç ona güvenir; 2-30-4 atıyorsa aynı ortalamaya rağmen kadroya koyması risklidir.
Sınıfın ortalaması 48, ortancası 62. Aradaki fark birkaç kişinin çok düşük not aldığını söyler: uç değerler ortalamayı aşağı çekmiş, ortanca yerinde kalmıştır.
Mağaza en çok hangi numarayı getireceğine ortalamaya değil tepe değere bakarak karar verir. Ortalama 39,4 çıkabilir ama 39,4 numara ayakkabı yoktur.
Fotoğraf kulübünün 9 üyesinden 8'i 20 lira, biri 200 lira bağış yaptı. Ortalama 40 lira, ortanca 20 lira. "Kişi başı 40 lira topladık" demek yanıltıcı olur.
İki şehrin yıllık ortalama sıcaklığı 15 °C olabilir. Birinde açıklık 10 °C, ötekinde 40 °C ise ikinci şehirde yazın da kışın da farklı kıyafet gerekir.
Sınıf grubunda bir haftada atılan mesaj sayısı kesikli veridir; telefonun ekran açık kalma süresi ise sürekli veridir. Biri sayılır, öteki ölçülür.
Beden dersinde beş deneme yapan öğrencinin derecelerinin açıklığı 0,3 saniyeyse koşusu istikrarlıdır. 3 saniyeyse bir denemede yorulmuş ya da yanlış çıkış yapmıştır.
Yıl sonu dinleme özetinde "en çok dinlenen sanatçı" bir tepe değerdir. Bir listede iki sanatçı aynı sayıda dinlenmişse tepe değer iki tanedir — bir dağılımın birden fazla tepe değeri olabilir.
Kesikli ve sürekli veri, aritmetik ortalama, tepe değer, ortanca, açıklık ve standart sapmanın dört adımlı hesabı üzerine 32 soru.
Bir sonuç çıkarmak ya da çözüme ulaşabilmek için gözlem, deney, araştırma gibi yöntemlerle elde edilen her bilgidir.
Kesikli veri belirli aralıktaki her gerçek sayı değerini alamaz (gol sayısı); sürekli veri alabilir (boy, süre).
Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür; grubun genel durumu hakkında bilgi verir.
En çok tekrar eden veridir. Bir dağılımın birden fazla tepe değeri olabilir.
Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki değerdir. Her veri grubu için yalnız bir ortanca vardır.
Veri sayısı çiftse ortanca veri grubunda bulunmayan bir sayı olabilir.
Tepe değer ve ortanca, uç değerlerden aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenir.
Yalnız iki uca bakar; sadece açıklığa dayalı yorumlar yüzeyseldir.
Açıklık büyükse grup heterojen, küçükse homojendir; küçük açıklıkta veriler birbirine yakındır.
Verilerin aritmetik ortalamadan uzaklıklarının ölçüsüdür; paydada n – 1 bulunur.
Ortalama bulunur → farklar alınır → kareleri toplanır → n – 1'e bölünüp karekökü alınır.
S küçükse puanlar düzenli ve tutarlı, grup homojen; S büyükse puanlar düzensiz, grup heterojendir. S hiç negatif olmaz, eşit verilerde S = 0 çıkar.