Dört işlem,
dört bölge.
İki küme çizdiğinde Venn şeması dört bölgeye ayrılır. Kesişim ortak bölgeyi, birleşim hepsini, fark yalnız birine ait olanı, tümleme ise dışarıda kalanı alır. Bu ünitede dört işlemi ve her birinin özelliklerini öğreniyorsun.
A ve B gibi iki kümenin tüm ortak elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı verilir. Kesişim işlemi "∩" sembolü ile gösterilir. Ortak özellik yöntemiyle yazıldığında içindeki bağlacın "ve" olduğuna dikkat et — önermeler ünitesindeki ⋀ bağlacının küme karşılığıdır.
A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye, A ve B kümelerinin birleşim kümesi adı verilir. Birleşim işlemi "∪" sembolü ile gösterilir. Bu sefer bağlaç "veya"dır: elemanın A'da ya da B'de olması yeter, ikisinde birden olması da sorun değildir.
Ortak elemanlar hem s(A)'da hem s(B)'de sayıldığı için bir kez fazladan sayılmış olur; bu yüzden s(A ∩ B) bir kez çıkarılır. Küme problemlerinin tamamı bu formülün etrafında döner.
Kesişimin bağlacı "ve" (⋀), birleşiminki "veya" (⋁) olduğu için önermelerde öğrendiğin bütün özellikler burada aynen tekrarlanıyor: tek kuvvet, değişme, birleşme ve dağılma. İki ünite aynı yapının iki farklı dilidir; birinde 1 ve 0, ötekinde eleman var ya da yok.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı adı verilir. A – B veya A ∖ B ile gösterilir. Sıranın önemli olduğu tek işlem budur.
Kesişim ve birleşimde A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A yazabilirsin; ama A ≠ B iken A ∖ B ≠ B ∖ A dır — fark işleminin değişme özelliği yoktur. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4} için A ∖ B = {1, 2} iken B ∖ A = {4} olur. İkisi sadece farklı değil, hiç ortak elemanı da olmayan iki kümedir.
E evrensel kümesine ait bir A kümesi için A kümesinde bulunmayıp E kümesinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni adı verilir ve A' ile gösterilir. Tümleme her zaman bir evrensel kümeye göre yapılır; E belirtilmeden tümleyen konuşulamaz.
Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri ve bu işlemlerin özellikleri, gerçek hayat durumlarının modellemesini içeren problemlerin çözümünde kullanılabilir. Bir sonraki ünite (Küme Problemleri) tam olarak bunun üzerine kuruludur.
Senin ve arkadaşının listesinde ikinizde de olan şarkılar A ∩ B'dir. Ortak yolculukta çalacak listeyi bu kesişimden kurarsınız — ikiniz de sıkılmazsınız.
Sen 12, kardeşin 9 kişi çağırdı, 4 kişi ikinizin de listesinde. Toplam kaç kişi gelir? s(A ∪ B) = 12 + 9 – 4 = 17 — ortakları iki kez saymamak için çıkarırsın.
Ödünç vereceğin kitapları seçerken "bende olup onda olmayanlar"a bakarsın: A ∖ B. Onun sana verebilecekleri ise B ∖ A — ikisi farklı listelerdir.
Yoklama alırken gelenler A ise, gelmeyenler A' olur; evrensel küme sınıf mevcududur. s(A) + s(A') = s(E) — ikisinin toplamı her zaman mevcudu verir.
"İzlediklerim" listesi tüm dizilerin alt kümesiyse, sana önerilebilecekler tümleyendir. Uygulama tam olarak bu farkı hesaplıyor.
Aynı saatte olan iki kulübün ortak üyesi olamaz: A ∩ B = ∅, bunlara ayrık kümeler denir. Bu durumda toplam üye sayısı doğrudan toplanır, çıkarılacak bir şey yoktur.
"Siyah ve spor" seçmek kesişim, "siyah veya beyaz" seçmek birleşimdir. Kesişim sonucu daraltır, birleşim genişletir; ekrandaki ürün sayısı bunu anında gösterir.
Sosyal medyanın "ortak arkadaşlar" sayısı iki arkadaş listesinin kesişimidir. "Tanıyor olabileceğin kişiler" ise onun listesinden seninkini çıkarır: B ∖ A.
Bir arama kutusuna "-spor" yazıp o etiketi dışlamak fark işlemidir. Hiçbir etiket seçmeyip hepsini istemek ise evrensel kümeye dönmektir.
Kesişim, birleşim, fark ve tümleme işlemleri, özellikleri, dağılma kuralları ve s(A ∪ B) formülü üzerine 40 soru.
A ve B gibi iki kümenin tüm ortak elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı verilir; kesişim işlemi ∩ sembolü ile gösterilir.
Tek kuvvet, değişme ve birleşme özellikleri vardır: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dir.
A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin birleşim kümesi adı verilir; birleşim işlemi ∪ sembolü ile gösterilir.
Ortak elemanlar iki kez sayıldığı için kesişimin eleman sayısı bir kez çıkarılır. Küme problemlerinin temel formülüdür.
Tek kuvvet, değişme ve birleşme özellikleri vardır: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C dir.
Birincisi kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine, ikincisi birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine soldan dağılma özelliğidir.
A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı denir; A – B veya A ∖ B ile gösterilir.
A ≠ B iken A ∖ B ≠ B ∖ A dır; fark işleminin değişme özelliği yoktur. A ∩ B = ∅ ise A ve B ayrık kümelerdir ve A ∖ B = A, B ∖ A = B olur.
A kümesinde bulunmayıp E kümesinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Ayrıca A – A' = A, E' = ∅, ∅' = E, A – E = ∅ ve s(A ∪ A') = s(E) dir.