İyi tanımlanmış
bir topluluk.
İyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir. "Sınıftaki uzun boylu öğrenciler" bir küme belirtmez — kimin uzun olduğu kişiden kişiye değişir. Bu ünitede kümeleri üç ayrı yöntemle göstermeyi ve alt kümelerini saymayı öğreniyorsun.
İyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki nesneler soyut ya da somut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin veya sembollerin her birine kümenin elemanları adı verilir. Kümeler genellikle büyük harflerle gösterilir. "İyi tanımlanmış" olması, bir nesnenin kümeye ait olup olmadığının tartışmasız söylenebilmesi demektir.
a, A kümesinin elemanı ise bu durum a ∈ A ile gösterilir ve "a elemanıdır A" diye okunur.
a, A kümesinin elemanı değil ise a ∉ A şeklinde gösterilir ve bu durum "a elemanı değildir A" diye okunur.
n ∈ ℕ olmak üzere bir A kümesinin eleman sayısı s(A) = n olarak ifade edilir. Aynı eleman iki kez yazılsa bile bir kez sayılır; küme elemanları birbirinden farklıdır.
Bir kümeyi üç farklı yöntemle gösterebilirsin. Hangisini seçeceğin kümenin büyüklüğüne ve soruya bağlıdır: eleman sayısı azsa liste, ilişkileri göstermek gerekiyorsa Venn şeması, eleman sayısı çoksa ortak özellik yöntemi işini kolaylaştırır.
Kümeyi oluşturan bütün elemanların { } parantezinin içerisinde
aralarına virgül konularak gösterilmesidir.
A = {0, 2, 4, 6, 8}
Kümeyi oluşturan bütün elemanların kapalı bir eğri içerisinde önüne nokta konularak gösterilmesidir. Kümeler arası ilişkileri görmek için en elverişli yöntemdir.
Genellikle eleman sayıları çok olan kümelerin gösterilmesinde
kullanılır. Kümenin bütün elemanlarının sahip olduğu ortak bir özellik varsa bu özelliğin
matematiksel veya sözel bir ifade ile gösterilmesidir.
A = {x | x çift rakam}
A = {x | x çift rakam} ifadesi ortak özellik yöntemi ile yapılan bir gösterimdir. Kullanılan "|" sembolü "öyle ki" anlamına gelir ve küme içerisinde kullanılan değişkenin hemen ardından yazılır. "|" sembolü yerine ":" sembolü de kullanılabilir. Yani {x | x çift rakam} ile {x : x çift rakam} aynı kümedir ve ikisi de "öyle x'ler ki, x bir çift rakam olsun" diye okunur.
Bir kümeye baktığında sorulacak ilk soru şudur: elemanlarını sayabilir misin? Sonra da: bu küme hangi büyük kümenin içinde duruyor?
Eleman sayıları bir doğal sayı ile gösterilebilen kümelere sonlu küme denir. Örnek: A = {1, 2, 3, 4} kümesinde s(A) = 4 tür.
Sonlu olmayan kümelere de sonsuz küme denir. Doğal sayılar kümesi ℕ, tam sayılar kümesi ℤ ve gerçek sayılar kümesi ℝ sonsuz kümelerdir.
Üzerinde işlem yapılan, tüm kümeleri içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme adı verilir. Evrensel küme E ile gösterilir. Venn şemasında dıştaki dikdörtgen evrensel kümedir.
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş kümenin gösterimi ∅ olup liste yöntemi ile gösterimi { } biçimindedir. Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.
{∅} ve {{ }} kümeleri, birer elemanlı kümeler olduğu için boş küme değildir. İçinde bir eleman vardır — o eleman boş kümenin kendisidir. Bunu boş bir kutuyla değil, içinde boş bir kutu duran bir kutuyla düşün: s(∅) = 0 ama s({∅}) = 1.
A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi iken A'nın elemanları ile B'nin elemanlarının aynı olma durumu varsa A ⊆ B ile gösterilir. B kümesi A kümesini kapsar; bu ifade ise B ⊃ A ile gösterilir.
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ formülü ile hesaplanır. Sebebi basit: her eleman için "alırım / almam" diye iki seçenek vardır, n eleman için 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ seçenek çıkar.
Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine öz alt kümesi denir. Bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2ⁿ – 1 ile hesaplanır. Yani listeden yalnız kümenin kendisi çıkarılır; boş küme öz alt kümeler arasında kalır.
Boş küme her kümenin alt kümesidir: ∅ ⊆ A dir. Her küme kendisinin alt kümesidir: A ⊆ A dir. A, B ve C kümeleri için A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C dir. Bu üçüncü özellik Venn şemasında iç içe üç eğri olarak görünür.
Bir kümenin alt kümelerinde "a veya b bulunur" ifadesi; a'nın bulunup b'nin bulunmadığı, b'nin bulunup a'nın bulunmadığı ve a ile b'nin birlikte bulunduğu üç durumu anlatır. "a ya da b den yalnız biri bulunur" ifadesi ise a'nın bulunup b'nin bulunmadığı, b'nin bulunup a'nın bulunmadığı iki durumu anlatır; "a ya da b bulunur" ifadesi ile aynıdır.
A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerinin tüm elemanları aynı ise bu kümelere eşit kümeler denir ve bu durum A = B şeklinde gösterilir. Eğer bu kümeler birbirine eşit değilse bu durum A ≠ B şeklinde gösterilir. A ve B kümelerinin birbirine eşit kümeler olması ancak ve ancak bu kümelerin birbirlerinin alt kümesi olmasıyla mümkündür. Dikkat et: burada bir önceki ünitenin "ancak ve ancak" bağlacı (⇔) kullanılıyor — eşitliği göstermek için iki yönü de göstermen gerekir.
Bir elemanın alt kümede bulunmasını şart koştuğunda, o eleman için artık seçim hakkın kalmaz; geriye n – k eleman kalır ve her biri için yine "alırım / almam" seçimi vardır. Aynı mantıkla belirli k elemanı içermeyen alt kümelerin sayısı da 2n – k olur. Örneğin 5 elemanlı bir kümenin a elemanını içeren alt küme sayısı 2⁴ = 16'dır. Bu formül konu özetinde geçmiyor ama 2ⁿ kuralının doğrudan sonucudur ve TYT'de sık sorulur.
Telefonundaki "Sevdiklerim" listesi bir kümedir: aynı şarkı iki kez eklenmez ve bir şarkının listede olup olmadığı tartışmasızdır. Küme, iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğudur.
5 malzeme arasından istediklerini seçiyorsan kaç farklı pizza çıkar? Her malzeme için "koy / koyma" diye iki seçenek var: 2⁵ = 32 — malzemesiz sade hamur da bu sayıya dâhil.
Satranç kulübü üyeleri okuldaki tüm öğrencilerin alt kümesidir. Okulun tamamı bu durumda evrensel küme gibi davranır — üzerinde işlem yapılan en geniş çerçevedir.
"Sınıftaki uzun boylu öğrenciler" küme belirtmez, ama "boyu 170 cm'den uzun öğrenciler" belirtir. İyi tanımlanmış olmak, ölçütün tartışmasız olması demektir.
Alışveriş uygulamasında 4 filtre kutucuğu varsa, 2⁴ = 16 farklı filtre kombinasyonu kurabilirsin. Hiçbirini işaretlememek de bunlardan biridir — o da boş kümedir.
Sırt çantan boşsa elinde yine de bir çanta var. ∅ boş kümedir, {∅} ise içinde boş küme bulunan bir elemanlı kümedir. s(∅) = 0, s({∅}) = 1.
Sınıf grubundan bir proje grubu kurduğunda yeni grup eskisinin alt kümesidir. Herkesi eklersen iki grup eşit olur — birbirinin alt kümesi olan iki küme eşittir.
Yapılacakları tek tek yazmak liste yöntemi, "bu haftaki matematik ödevleri" demek ortak özellik yöntemidir. İkincisi eleman çok olduğunda çok daha pratiktir.
6 kişilik gruptan kendini mutlaka içeren kaç ekip kurulur? Sen sabitsin, kalan 5 kişi için seçim serbest: 2⁵ = 32.
Küme ve eleman kavramı, üç gösterim yöntemi, sonlu-sonsuz-evrensel-boş küme, alt küme, alt küme sayısı ve küme eşitliği üzerine 40 soru.
İyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir. Kümeyi oluşturan nesnelerin veya sembollerin her birine kümenin elemanları adı verilir; kümeler genellikle büyük harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan bütün elemanların { } parantezinin içerisinde aralarına virgül konularak gösterilmesidir.
Kümeyi oluşturan bütün elemanların kapalı bir eğri içerisinde önüne nokta konularak gösterilmesidir.
Genellikle eleman sayıları çok olan kümelerde kullanılır. "|" sembolü "öyle ki" anlamına gelir ve değişkenin hemen ardından yazılır; yerine ":" sembolü de kullanılabilir.
Eleman sayıları bir doğal sayı ile gösterilebilen kümelere sonlu küme, sonlu olmayan kümelere sonsuz küme denir. Üzerinde işlem yapılan, tüm kümeleri içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme adı verilir ve E ile gösterilir.
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir; gösterimi ∅ olup liste yöntemi ile { } biçimindedir. {∅} ve {{ }} kümeleri, birer elemanlı kümeler olduğu için boş küme değildir.
A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir; her küme kendisinin alt kümesidir; A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C dir.
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ formülü ile hesaplanır. Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine öz alt kümesi denir ve sayısı 2ⁿ – 1 ile hesaplanır.
A ve B kümelerinin tüm elemanları aynı ise bu kümelere eşit kümeler denir, A = B yazılır. Eşit olmaları ancak ve ancak birbirlerinin alt kümesi olmasıyla mümkündür.