Biri artarken
öteki
ne yapıyor?
Bu tek soru, problemin doğru orantı mı ters orantı mı olduğunu söylüyor. İşçi sayısı artınca iş artar ama süre azalır — aynı problemde iki ayrı orantı. Bunu ayırt edebilirsen TYT'nin en verimli konularından birini çözmüş olursun.
Aynı türden iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir ve a/b veya a : b şeklinde gösterilir. İki ya da daha fazla oranın birbirine eşitlenmesine orantı denir. Sabit bir k değeri için a/b = c/d = k eşitliğindeki k değerine orantı sabiti denir.
a/b = c/d eşitliği a : b = c : d şeklinde de yazılabilir. Bu eşitlikte b ve c değerleri içler, a ve d değerleri dışlar olarak adlandırılır.
a/b = c/d = k orantısında yapabileceğin beş dönüşüm var ve bunların dördü orantı sabitini değiştirmiyor. Beşincisi ise sabitin karesini veriyor.
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu çokluklara doğru orantılıdır denir. a ve b doğru orantılı ise a/b = k şeklinde gösterilir.
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyor ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyor ise bu çokluklara ters orantılıdır denir. a ve b ters orantılı ise a · b = k şeklinde gösterilir.
a, b, c ve x gerçek sayılar olmak üzere iki satırlık tabloda:
Çapraz çarpım kurulur.
Aynı satırdakiler çarpılır.
İşçi sayısı ile yapılan iş miktarı doğru orantılıdır (daha çok işçi, daha çok iş), ama işçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır (daha çok işçi, daha kısa süre). Aynı şey hız için de geçerli: hız ile alınan yol doğru, hız ile zaman ters orantılıdır. Soru "ne kadar iş" mi yoksa "ne kadar sürede" mi diye soruyor — buna bak.
Soru: Furkan, Fatih ve Feyza isimli üç arkadaş 144 adet cevizi sırasıyla 3, 4 ve 6 sayıları ile ters orantılı olarak paylaşacaklardır. En az ceviz alan kişiyi ve bu kişinin kaç ceviz alacağını bulunuz.
Çözüm: Furkan x, Fatih y ve Feyza z tane ceviz alsın. x, y ve z sayıları sırasıyla 3, 4 ve 6 ile ters orantılı olduğundan:
Bu durumda k/3, k/4 ve k/6 ifadelerinden en küçük olan k/6'dır ve en az ceviz alan kişi Feyza'dır. Feyza z = k/6 = 192/6 = 32 ceviz alır.
1 tost 35 TL ise 4 tost 140 TL. Satın alınan ürün ile ödenmesi gereken para doğru orantılıdır — biri artarken diğeri de aynı oranda artıyor. Fiyat etiketine bakıp kaç tane alabileceğini hesaplarken bu orantıyı kuruyorsun.
Kulüp panosunu 3 kişi 8 saatte boyuyorsa 6 kişi 4 saatte bitirir. İşçi sayısı ve işin bitirilme süresi ters orantılıdır; çarpımları sabit kalıyor: 3 · 8 = 6 · 4 = 24.
8 kişilik erzak 12 gün yetiyorsa kampa 4 kişi daha katılınca 12 kişiye 8 gün yeter. Kişi sayısı ve yiyeceğin yetme süresi ters orantılıdır: 8 · 12 = 12 · 8 = 96.
Aynı yolu 60 km/sa ile 30 dakikada gidiyorsan 90 km/sa ile 20 dakikada gidersin. Hız ve zaman ters orantılıdır. Ama sabit sürede daha hızlı gidersen daha çok yol alırsın — hız ve alınan yol doğru orantılıdır.
4 kişilik tarif 2 yumurta istiyorsa 10 kişilik tarif için 5 yumurta gerekir: 2/4 = x/10 → 4x = 20 → x = 5. İçler çarpımı ile dışlar çarpımı birbirine eşittir kuralının en sık kullandığın hâli.
Ölçeği 1 : 100 000 olan haritada 3 cm, gerçekte 3 km'dir. Ölçek bir orandır ve orantı sabiti harita boyunca değişmez — bu yüzden haritanın herhangi bir yerinden ölçüm yapabilirsin.
Sınıfta kızların erkeklere oranı 3/4 ve toplam 28 kişi. Payların toplamı paydaların toplamına bölününce orantı sabiti değişmez: 28 / 7 = 4. Yani 12 kız, 16 erkek. Üçüncü özellik soruyu tek adımda çözüyor.
2 kılıç 5 kalkana takas ediliyorsa 6 kılıç kaç kalkan eder? 2/5 = 6/x → 2x = 30 → x = 15. Oyunlardaki takas oranları da birer orantıdır; oran bozulmadığı sürece içler dışlar çarpımı hep işini görür.
İki kardeş 300 TL'yi yaşlarıyla (10 ve 15) doğru orantılı paylaşırsa büyük olan daha çok alır: 120 ve 180 TL. Ama ters orantılı paylaşırlarsa tersi olur — küçük kardeş 180, büyük 120 alır. Aynı sayılar, tam ters sonuç.
30 sorudan oluşan bu test ile "Oran - Orantı Kavramı ve Problemleri" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Aynı türden iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. a/b veya a : b şeklinde gösterilir.
İki ya da daha fazla oranın birbirine eşitlenmesine orantı denir. Sabit bir k değeri için a/b = c/d = k eşitliğindeki k değerine orantı sabiti denir.
a/b = c/d eşitliği a : b = c : d şeklinde de yazılabilir. Bu eşitlikte b ve c değerleri içler, a ve d değerleri dışlar olarak adlandırılır.
İçler çarpımı ile dışlar çarpımı birbirine eşittir: a · d = b · c olur. Ayrıca içteki veya dıştaki terimler yer değiştirebilir; a/b = c/d ise a/c = b/d ve d/b = c/a olur.
Oranların paylarının toplamı, paydalarının toplamına bölünürse orantı sabiti değişmez. m ≠ 0 ve n ≠ 0 olmak üzere oranların biri m, diğeri n sabit sayısıyla genişletilip pay ve paydalar kendi aralarında toplanırsa da orantı sabiti değişmez.
Oranlar çarpılırsa orantı sabitinin karesi elde edilir. Diğer dört özellik sabiti korurken bu özellik sabitin karesini verir.
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu çokluklara doğru orantılıdır denir. a ve b doğru orantılı ise a/b = k şeklinde gösterilir.
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyor ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyor ise bu çokluklara ters orantılıdır denir. a ve b ters orantılı ise a · b = k şeklinde gösterilir.
Doğru orantılı olanlar: satın alınan ürün ile ödenmesi gereken para, işçi sayısı ve yapılan iş miktarı, hız ve alınan yol, yapılan iş miktarı ve harcanan süre. Ters orantılı olanlar: hız ve zaman, işçi sayısı ve işin bitirilme süresi, kişi sayısı ve yiyeceğin yetme süresi. Dört terimli tabloda doğru orantı varsa a · x = b · c, ters orantı varsa a · b = c · x olur.