Günde
ne kadarını
bitiriyor?
İşçi problemlerinde işlemler, birim zamanda yapılan iş üzerinden gerçekleştirilir. Süreleri değil hızları topla: bir işi 4 günde bitiren biri günde işin 1/4'ünü yapar. Bu tek çevirme, konunun tamamını açıyor.
İşçi problemlerinde işlemler, birim zamanda yapılan iş üzerinden gerçekleştirilir. İki işçinin sürelerini toplamak anlamsızdır; toplanabilen şey günlük iş miktarlarıdır. Bu yüzden ilk iş her zaman "bu kişi bir günde işin ne kadarını bitirir?" sorusuna cevap vermektir.
Bir işçi bir işin tamamını x günde yaparsa:
Bir günde işin 1/x'ini yapar.
a günde işin a/x'ini yapar.
Bir işi 4 günde bitiren ile 6 günde bitiren birlikte çalışırsa iş 10 günde değil, 2,4 günde biter. Birlikte çalışınca süre her ikisinin süresinden de kısa olmak zorundadır — bu, cevabını kontrol etmenin en hızlı yolu. Toplanabilen şey süre değil, günlük iş miktarıdır.
Birinci işçinin a günde, ikinci işçinin b günde bitirdiği bir işi bu iki işçi birlikte x günde bitiriyorsa 1/a + 1/b = 1/x tir. Formülün mantığı şu: birinci günde 1/a, ikinci günde 1/b iş yapıyor; ikisi bir günde 1/a + 1/b kadar iş yapar ve bu, birlikte çalışma hızlarıdır.
Sağdaki sadeleştirilmiş biçim iki işçi için pratiktir ama üç işçi varsa çalışmaz; o zaman 1/a + 1/b + 1/c = 1/x kurup paydaları eşitlemek gerekir. Konu özeti de bunu söylüyor: bu formülün dışında farklı yöntemler için örnekleri incelemek gerekir.
Soru: Aynı güçteki 8 işçinin 12 günde boyayabileceği bir duvarı bu işçilerle aynı güçte olan 6 işçi kaç günde boyayabilir?
Çözüm: İşçi sayısı azaldıkça işin yapılma süresi artacağından ters orantı vardır. Bu durumda:
Bu durumda 6 işçi bu duvarı 16 günde boyayabilir. Ters orantıda aynı satırdakiler çarpılır; çapraz çarpım yapılmaz.
8 · 12 = 96 "işçi-gün" bu duvarın toplam iş yüküdür ve kaç işçi çalışırsa çalışsın değişmez. İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır (çarpımları sabit), ama işçi sayısı ile yapılan iş miktarı doğru orantılıdır. Soru hangisini soruyor — buna bak.
Formül her soruda yetmez: biri işi yarıda bırakırsa, sonradan katılırsa ya da kalan iş soruluyorsa kesirlerle boğuşmak gerekir. Konu özetinin ikinci örneği bunun yerine toplam işi paydaların EKOK'u kadar parçaya bölüyor.
Soru: Cem bir işi 4 günde, Caner ise aynı işi 6 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte bu işe başladıktan 2 gün sonra Cem işi bırakıyor. Buna göre kalan işi Caner kaç günde bitirebilir?
Çözüm: EKOK(4, 6) = 12 olduğundan yapılan iş miktarı 12k olsun.
Caner günde 2k iş yaptığı için kalan 2k'lık iş tam 1 gün sürer. Hiçbir adımda kesir kullanılmadığına dikkat et — EKOK'u iş miktarı seçmenin bütün faydası bu.
Panoyu tek başına 6 saatte hazırlıyorsan saatte işin 1/6'sını yapıyorsun. Arkadaşın 3 saatte hazırlıyorsa birlikte 1/6 + 1/3 = 1/2, yani 2 saatte bitirirsiniz.
Grup ödevini 4 kişi 3 günde bitiriyorsa 2 kişi kalırsa 6 gün sürer: 4 · 3 = 2 · x. İşçi sayısı ile süre ters orantılıdır; kişi sayısı yarıya inince süre iki katına çıkar.
Bir denemeyi 5 günde bitiriyorsan günde 1/5'ini çözüyorsun; 2 gün çözersen a/x = 2/5'i bitmiş olur. Kalan 3/5 için 3 gün daha lazım.
Odayı sen 30 dakikada, kardeşin 60 dakikada topluyor. Birlikte 20 dakika sürer (1/30 + 1/60 = 1/20). Ortak süre her zaman ikisinden de kısadır — 40 dakika gibi bir cevap çıktıysa hata yapmışsındır.
Kulüp afişini 2 saat birlikte yapıp sonra sen ayrılırsan, kalan işi arkadaşın tek başına bitirir. İşi 12k gibi bölünebilir bir sayı kabul et; kim kaç k yaptı diye sayarsın, kesir tutmazsın.
İki musluk aynı havuzu 3 ve 6 saatte dolduruyorsa birlikte 2 saatte doldurur. Havuz problemleri işçi problemleriyle aynı formülü kullanır: 1/a + 1/b = 1/x.
8 kişi 12 günde biten bir işe 6 kişi kalırsa 16 gün sürer. Toplam iş yükü 8 · 12 = 96 kişi-gün olarak sabittir; kişi sayısını bilince süreyi bölmen yeter.
300 sayfalık kitabı 10 günde bitirmek istiyorsan günde 1/10'unu, yani 30 sayfayı okumalısın. Bir günde 1/x, a günde a/x kuralı okuma planını da kuruyor.
Okul gösterisi videosunu sen 8 saatte, arkadaşın 8 saatte kurguluyorsa birlikte 4 saat sürer. Aynı hızda iki kişi süreyi tam yarıya indirir; üç kişi olursa 8/3 saate düşer.
Birim zamanda yapılan iş, 1/a + 1/b = 1/x formülü, işçi sayısı-süre ters orantısı ve EKOK yöntemi üzerine 30 soru.
İşçi problemlerinde işlemler, birim zamanda yapılan iş üzerinden gerçekleştirilir. Toplanabilen şey süre değil, birim zamanda yapılan iş miktarıdır.
Bir işçi bir işin tamamını x günde yaparsa bir günde işin 1/x'ini yapar.
Bir işçi bir işin tamamını x günde yaparsa a günde işin a/x'ini yapar.
Birinci işçinin a günde, ikinci işçinin b günde bitirdiği bir işi bu iki işçi birlikte x günde bitiriyorsa 1/a + 1/b = 1/x tir.
1/a + 1/b = 1/x eşitliğinden elde edilir. Yalnız iki işçi için geçerlidir; üç işçide 1/a + 1/b + 1/c = 1/x kurulur.
İşçi sayısı azaldıkça işin yapılma süresi artacağından aralarında ters orantı vardır; işçi sayısı ile sürenin çarpımı sabittir.
Aynı güçteki 8 işçinin 12 günde boyayabileceği duvarı 6 işçi 16 günde boyar.
Cem işi 4 günde bitiriyorsa 1 günde 12k/4 = 3k, Caner 6 günde bitiriyorsa 1 günde 12k/6 = 2k iş yapar. Böylece hiçbir adımda kesir kullanılmaz.
İkisi birlikte 2 günde 2 · (3k + 2k) = 10k iş yapar; 12k – 10k = 2k iş kalır ve Caner günde 2k yaptığı için kalan işi 1 günde bitirir.