"…nın
…si"
çarpmadır
Kesir problemlerinde verilen sözel ifadeler matematiksel ifadelere dönüştürülür ve bu dönüşümün tek kuralı var: "bir sayının kesiri" demek, o sayı ile kesrin çarpımı demektir. Doğru değişkeni seçersen paydalar sadeleşir ve işlem tek satıra iner.
Kesir problemlerinde verilen sözel ifadeler, aşağıdaki tablodaki gibi matematiksel ifadelere dönüştürülür. "…nın …si" kalıbı her geçtiğinde bir çarpma daha eklenir; üç kesir üst üste gelse bile kural değişmiyor.
"60 sayısının 2/5’i" çarpmadır: 60 · 2/5 = 24. Ama "60 sayısının 2/5 fazlası" toplamadır: 60 + 24 = 84. Bir harflik fark denklemi tümüyle değiştiriyor. Aynı şekilde "2/5 eksiği" 60 – 24 = 36 demektir. Cümlede "…i, …si" varsa çarp; "fazlası, eksiği" varsa önce çarp sonra ekle ya da çıkar.
Kesir problemlerinde en çok zaman kaybettiren şey paydalarla boğuşmaktır. Konu özetinin verdiği kısayol, değişkeni baştan paydalara bölünebilecek biçimde seçmek.
"Bir sayının 1/a’sının 1/b’si kaçtır?" şeklindeki ifadelerde kesirlerin paydalarının en küçük ortak katları alınıp, bulunan sayı kadar x yazılır.
Örneğin EKOK(a, b) = k ise bu durumda istenen sayı k · x alınarak işlem daha kolay yapılabilir.
Payda 24 kalır, sonraki her adımda kesirle uğraşırsın. Cevabın tam sayı çıkması için x’in 24’e bölünmesi gerektiğini ayrıca düşünmen gerekir.
Paydalar hemen sadeleşir, geriye tam sayı katsayılı ifade kalır. EKOK(4, 6) = 12 yeterli olurdu; 4 · 6 = 24 de çalışır ama en küçük ortak kat en sade sonucu verir.
Kesir problemlerinin çoğunda bir işin bir kısmı bir şekilde, kalanı başka bir şekilde yapılır. Bütün 1 kabul edilirse, bir kısmı a/b ise kalan kısmı 1 – a/b olur. Değişkeni EKOK’a göre seçtiğinde bu iki parça da tam sayı çıkar.
Soru: Göktuğ, çözmesi gereken soruların 1/3’ünü günde 25 soru çözerek, kalan kısmını ise günde 20 soru çözerek toplam 14 günde bitirmiştir. Buna göre Göktuğ’un çözmesi gereken soru sayısı kaçtır?
Çözüm: Tüm soruların sayısına 3x denilirse 25 soru çözerek bitirdiği kısımda x soru, 20 soru çözerek bitirdiği kısımda 2x soru olur. x soruluk kısmı günde 25 soru çözerek x/25 günde, 2x soruluk kısmı günde 20 soru çözerek 2x/20 günde bitirecektir.
Çözülmesi gereken soru sayısı 3x olduğundan 3x = 3 · 100 = 300 sorudur. Dikkat: bulunan x = 100 cevabın kendisi değil; soru toplam sayıyı istiyor.
Soruların 1/3’ü ayrıldığı için toplam sayı 3’e bölünebilmeli. Toplama 3x denince birinci kısım x, kalan kısım 2x olur ve hiçbir yerde kesir taşımaya gerek kalmaz. Bu, DİKKAT kutusundaki "paydaların en küçük ortak katı kadar x yaz" kuralının aynısıdır.
Soru: Bir telin bir ucundan 1/6’sı kesilirse orta noktası 15 cm yer değiştirmektedir. Buna göre telin kesilmeden önceki boyunun uzunluğu kaç santimetredir?
Çözüm: Bir telin orta noktası bir ucundan kesilen miktarın yarısı kadar yer değiştireceğinden telin boyuna x cm dersek:
Telin kesilmeden önceki boyu 180 cm olarak bulunur. Kontrol: 180 cm telin 1/6’sı 30 cm; kesildikten sonra kalan 150 cm’lik telin orta noktası kesilen uçtan 30 + 75 = 105 cm’de, eskiden 90 cm’deydi — fark tam 15 cm.
Göktuğ’un problemi tam olarak senin hafta planın: soruların bir kısmını hızlı, kalanını yavaş çözersin. Toplama 3x demek hesabı kesirsiz hâle getiriyor — 300 sorunun 100’ü hızlı, 200’ü yavaş.
Şarjın 3/4’ü doluyken 1/3’ünü oyunda harcadıysan kalan 3/4 · 2/3 = 1/2. "…nın …si" çarpmadır; kalan kısım için 1’den çıkarma yaparsın.
8 dilimlik pizzanın 1/4’ünü sen, kalanının 1/2’sini arkadaşın yediyse arkadaşın 6 · 1/2 = 3 dilim yemiştir. "Kalanının" kelimesi çarpanın bütünden değil kalandan alınacağını söylüyor — en sık yapılan hata burada.
Sınıf panosu için kurdelenin bir ucundan 1/6’sını kesersen orta işareti kesilen miktarın yarısı kadar kayar. Tam ortadan asmak istiyorsan işareti yeniden koyman gerekir.
Harçlığının 2/5’ini kantine, kalanının 1/3’ünü kitaba verdiysen kitaba giden 3/5 · 1/3 = 1/5’tir. Toplama EKOK(5, 3) = 15 kadar, yani 15x dersen hepsi tam sayı çıkar.
24 bölümlük sezonun 1/3’ünü hafta içi, kalanını hafta sonu izlediysen hafta sonu 16 bölüm izlemişsin. Bütün 1, bir kısmı 1/3 ise kalan 2/3’tür.
1 kg unun 1/4’ünün 5/6’sını kullandıysan kullandığın miktar 1000 · 1/4 · 5/6 = 208,33 g. Tarifte gramla çalışmak için baştan 24’ün katı seçmek işi kolaylaştırır — 24x kuralı mutfakta da geçerli.
Canının 2/5’ini kaybettiysen kalan 3/5’tir; bir vuruş daha kalanın 1/3’ünü götürürse elinde 3/5 · 2/3 = 2/5 kalır. Ard arda gelen kayıplar toplanmaz, çarpılır.
1,5 L matarada suyun 2/3’ünü antrenmanda içtiysen kalan 500 mL’dir. Bir sayının 2/3’ü demek o sayı ile 2/3’ün çarpımı demektir: 1500 · 2/3 = 1000 mL.
Sözel kesir ifadelerini matematiksel ifadeye çevirme, EKOK ile değişken seçme ve konu özetindeki iki örnek üzerine 30 soru.
Kesir problemlerinde verilen sözel ifadeler matematiksel ifadelere dönüştürülür. "Bir sayının kesiri" ifadesi, o sayı ile kesrin çarpımı demektir.
60 sayısının 2/5’i 60 · 2/5 olur. 90 sayısının 1/3’ünün 2/5’i 90 · 1/3 · 2/5 olur. Bir sayının 1/4’ünün 5/6’sı x · 1/4 · 5/6 biçiminde yazılır.
"Bir sayının 1/a’sının 1/b’si kaçtır?" şeklindeki ifadelerde kesirlerin paydalarının en küçük ortak katları alınıp, bulunan sayı kadar x yazılır. EKOK(a, b) = k ise istenen sayı k · x alınarak işlem daha kolay yapılabilir.
Bütün 1 kabul edilir. Bir kısmı a/b ise kalan kısım 1 – a/b olur. Soruların 1/3’ü ayrıldıysa kalan 2/3’tür.
Tüm soruların sayısına 3x denilirse 25 soru çözerek bitirdiği kısımda x soru, 20 soru çözerek bitirdiği kısımda 2x soru olur. x soruluk kısım x/25 günde, 2x soruluk kısım 2x/20 günde biter.
4x/100 + 10x/100 = 14x/100 = 14 olduğundan x = 100 bulunur. Çözülmesi gereken soru sayısı 3x olduğundan 3 · 100 = 300 sorudur.
Bir telin orta noktası, bir ucundan kesilen miktarın yarısı kadar yer değiştirir. Kesilen parça ne kadar uzunsa orta nokta o kadar çok kayar.
Bir telin bir ucundan 1/6’sı kesilince orta noktası 15 cm yer değiştiriyorsa telin boyuna x dendiğinde x/12 = 15 ve x = 180 cm bulunur.
Bulunan x çoğu zaman cevabın kendisi değildir. Göktuğ örneğinde x = 100 çıkar ama soru toplam soru sayısını istediği için cevap 3x = 300’dür.