Matematik
neyin üstünde duruyor?
Her tanım başka bir tanıma dayansaydı sonu gelmezdi. Bu yüzden en altta tanımsız terimler ve ispatsız kabul edilen aksiyomlar var; üstüne ispatlanan teoremler kuruluyor. Bu ünitede matematiğin kendi iskeletini tanıyorsun.
"Nokta nedir?" diye sorulduğunda başka kavramlarla açıklamaya kalkarsan, o kavramlar için de aynı soru sorulur ve zincir hiç bitmez. Matematik bu sonsuz zinciri en baştan keser: bazı terimleri tanımsız kabul eder.
Başka bir terim ya da tanıma ihtiyaç duyulmadan anlaşılabilen terimlerdir. Örneğin nokta, doğru, düzlem tanımsız terimlerdir. Bunlar tanımlanmadıkları için eksik değil; zincirin başlangıcı oldukları için tanımsızdır.
Kendisinden önce tanımlanan terimler, tanımsız terim ve başkaca kavramlar kullanılarak tanımlanmaya ihtiyaç duyulan terimlerdir. "Doğru parçası", "açı", "üçgen" bu gruptandır — hepsi nokta ve doğru üzerinden anlatılır.
Bir kavram ya da terimi, tanımlı veya tanımsız terimler kullanmak suretiyle özelliklerini belirterek açıklamaya tanım (tanımlama) adı verilir.
Tanımlama; anlamı bilinen sözcükler, tanımsız terimler veya tanımlı terimlerle yapılmalıdır.
Tutarlı, açık ve anlaşılır olmalıdır. Kendi içinde çelişen bir tanım kullanılamaz.
Tanım; belirtilmesi gereken özelliği kapsamalı, başka özellikleri kapsamayacak biçimde kesin olmalıdır.
İspata gerek duyulmaksızın doğruluğu kabul edilen önermelere aksiyom denir. Aksiyom, "ispatlanamayan" değil, ispat aranmayan önermedir — üzerine bina kurulacak zemindir. "İki noktadan yalnız bir doğru geçer" cümlesi böyle bir zemin taşıdır.
Birbirleri ile çelişmemelidir. İki aksiyom birbirinin tersini söylüyorsa, o sistemde hem bir önerme hem de değili ispatlanabilir hâle gelir; sistem işe yaramaz olur.
Birbirlerinden bağımsız olmalıdır. (Bir aksiyom diğer aksiyomlardan çıkarılmamalıdır.) Diğerlerinden çıkarılabiliyorsa o zaten bir teoremdir, aksiyom listesinde durmasına gerek yoktur.
Mümkün olduğu kadar az sayıda olmalıdır. Ne kadar az şey kabul edilirse, kurulan yapı o kadar sağlam sayılır.
Doğruluğu ispatsız kabul görmeyen önermelere teorem denir. p ve q önermeler olmak üzere p önermesi doğru iken p ⇒ q önermesinin doğruluğu ispatlanabiliyorsa p ⇒ q önermesi bir teoremdir. Başka bir ifadeyle doğruluğu ispatlanabilen önermelere teorem denir. Yani teorem, önceki ünitenin koşullu önermesinin ispatlanmış hâlidir.
p ⇒ q teorem olmak üzere p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Hipotez elindeki bilgidir ("verilenler"), hüküm ise gösterilmesi gerekendir ("istenen"). Geometri sorularında "Verilen" ve "İstenen" başlıklarını ayırmak, tam olarak hipotez ile hükmü ayırmak demektir.
Bir teoremin doğru önerme olduğunu göstermeye teoremin ispatlanması denir. p ⇒ q teoreminde p önermesi doğru olduğundan teoremi ispatlamak için q önermesinin doğru olduğunu göstermek gereklidir. İspat yaparken elini attığın her şey belli bir listeden gelmek zorundadır.
Teorem ispatlanırken teoremde verilenlerden (hipotezlerden), daha önce ispatlanmış teoremlerden, tanımlardan ve aksiyomlardan yararlanılır.
Bir önceki ünitede p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q' ⇒ p' önermesine denk olduğunu gördün. Doğrudan ispat zor geldiğinde karşıt tersini ispatlamak yeterlidir; ikisi denk olduğu için biri doğruysa diğeri de doğrudur.
"Her" ile kurulan bir iddiayı doğrulamak için tek örnek yetmez; ama çürütmek için tek bir karşı örnek yeter. Bunun sebebi [∀x, p(x)]' ≡ ∃x, p'(x) kuralıdır. "3, 5, 7 asal ve tek, demek her asal tektir" akıl yürütmesi ispat değildir — 2 sayısı bu iddiayı tek başına yıkar.
Bir masa oyununun kural kitapçığındaki maddeler aksiyom gibidir: tartışılmaz, kabul edilir. "Bu açılışla üç hamlede kazanılır" iddiası ise teoremdir — göstermen gerekir.
Dönem başında sınıfça belirlenen kurallar birbiriyle çelişmemeli ve biri diğerinden çıkarılabiliyorsa gereksizdir. Aksiyomlarda aranan iki özellik tam olarak bunlar.
Sözlükte bir kelimeye bakınca açıklamasındaki kelimeler de sözlükte olur; bu böyle sürer gider. Dil de matematik gibi bir yerde durmak zorunda — tanımsız terimler o duraktır.
Soruda "Verilen" kısmı hipotez, "İstenen" kısmı hükümdür. Çözüme başlamadan bu ikisini ayırmak, aslında teoremi p ⇒ q biçimine sokmaktır.
Arkadaşın "bu takım hep kaybediyor" diyorsa, tek bir galibiyet göstermen iddiayı yıkar. Bir "her" iddiasını çürütmek için tek karşı örnek yeter, ama doğrulamak için örnek saymak yetmez.
Bir çözümü kontrol ederken her adımın nereden geldiğini sorarsın: verilenden mi, bilinen bir formülden mi? İspatta yalnız hipotez, tanım, aksiyom ve ispatlanmış teoremler kullanılabilir.
Bir uygulamanın "kullanım koşulları" listesi de aksiyom mantığındadır: kabul etmeden içeri giremezsin. Sonrasındaki her kural bu maddelerin üstüne kurulur.
İyi bir tanım yalnız gerekeni kapsar. Sunumda "kuş, uçabilen hayvandır" dersen penguen dışarıda, yarasa içeride kalır — tanım kesin değildir.
"Erken kalkarsam otobüsü kaçırmam" yerine "otobüsü kaçırdıysam erken kalkmamışımdır" demek aynı şeydir. Karşıt tersiyle ispat bu doğal düşünme biçiminin matematikteki adıdır.
Tanımsız ve tanımlı terimler, tanımda aranan özellikler, aksiyom ve özellikleri, teorem-hipotez-hüküm ve ispat üzerine 30 soru.
Başka bir terim ya da tanıma ihtiyaç duyulmadan anlaşılabilen terimlerdir. Örneğin nokta, doğru, düzlem tanımsız terimlerdir.
Kendisinden önce tanımlanan terimler, tanımsız terim ve başkaca kavramlar kullanılarak tanımlanmaya ihtiyaç duyulan terimlerdir.
Bir kavram ya da terimi, tanımlı veya tanımsız terimler kullanmak suretiyle özelliklerini belirterek açıklamaya tanım (tanımlama) adı verilir.
I. Tanımlama; anlamı bilinen sözcükler, tanımsız terimler veya tanımlı terimlerle yapılmalıdır. II. Tutarlı, açık ve anlaşılır olmalıdır. Tanım; belirtilmesi gereken özelliği kapsamalı, başka özellikleri kapsamayacak biçimde kesin olmalıdır.
İspata gerek duyulmaksızın doğruluğu kabul edilen önermelere aksiyom denir.
I. Birbirleri ile çelişmemelidir. II. Birbirlerinden bağımsız olmalıdır (bir aksiyom diğer aksiyomlardan çıkarılmamalıdır). III. Mümkün olduğu kadar az sayıda olmalıdır.
Doğruluğu ispatsız kabul görmeyen önermelere teorem denir. p önermesi doğru iken p ⇒ q önermesinin doğruluğu ispatlanabiliyorsa p ⇒ q bir teoremdir; yani doğruluğu ispatlanabilen önermelere teorem denir.
p ⇒ q teorem olmak üzere p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Örnek teoremde p: "ABC üçgeni eşkenar üçgendir." hipotez, q: "ABC üçgeninin tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşittir." hükümdür.
Bir teoremin doğru önerme olduğunu göstermeye teoremin ispatlanması denir. p ⇒ q teoreminde p doğru olduğundan q'nun doğru olduğunu göstermek gerekir. Teorem ispatlanırken hipotezlerden, daha önce ispatlanmış teoremlerden, tanımlardan ve aksiyomlardan yararlanılır.