Üç açı,
tek toplam.
Üçgeni nasıl çizersen çiz iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360° olur. Bu iki sabit ile bir dış açının komşu olmayan iki iç açıya eşitliği, geometrideki açı sorularının çoğunu tek satırda bitirir.
Konu özetinin tanımı: aynı düzlemde bulunan ve doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşimine üçgen denir. [AB] ∪ [BC] ∪ [CA] = ABC üçgenidir.
A, B ve C noktaları üçgenin köşeleridir. Köşe adları büyük harfle yazılır.
[AB], [BC], [CA] üçgenin kenarlarıdır. Bir kenarın uzunluğu, karşısındaki köşenin küçük harfiyle gösterilir: a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|.
Üç nokta aynı doğru üzerindeyse (doğrusalsa) üçgen oluşmaz; birleşim tek bir doğru parçasına çöker. Tanımdaki "doğrusal olmayan" ifadesi bunun içindir.
Toplam 180° sabit olduğu için bir üçgende iki açı biliniyorsa üçüncüsü zorunlu olarak bilinir: m(Ĉ) = 180° – m(Â) – m(B̂). Bu yüzden üçgen sorularında "üçüncü açıyı bul" adımı çoğu zaman ilk hamledir.
Konu özetinin numaralı üç maddesi, üçgen açı sorularının tamamının dayandığı temeldir.
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.
Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
Üçgenlerde bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
Bir köşedeki dış açı ile iç açı komşu bütünler olduğu için toplamları 180° dir. Buradan dış açı bağıntısı da doğrudan çıkar: z = 180° – c ve a + b + c = 180° olduğundan z = a + b olur. İki kural birbirinden bağımsız değildir, aynı 180° den gelir.
Konu özetinin KRİTİK BİLGİ kutusundaki iki bağıntı sınavda doğrudan sorulur.
Üçgenin içindeki bir D noktası B ve C ile birleştirildiğinde oluşan BD̂C açısı, üçgenin üç köşesindeki a, b ve c açılarının toplamına eşittir.
Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ve açıortay arasındaki açının ölçüsü, diğer köşelerdeki açıların farklarının yarısına eşittir. [AH] ⊥ [BC] ve m(BÂE) = m(EÂC) dir.
|B̂ – Ĉ|/2 bağıntısı, yükseklik ile açıortayın aynı köşeden çizilmiş olması hâlinde geçerlidir. B̂ = Ĉ olursa fark sıfır çıkar; bu da ikizkenar üçgende tepe noktasından çizilen yüksekliğin aynı zamanda açıortay olduğu anlamına gelir.
İki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen, kenarlarının uzunlukları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen, kenarlarının uzunlukları birbirinden farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen denir.
|AB| = |AC| olmak üzere m(B̂) = m(Ĉ) olur. [BC] taban, [AB] ve [AC] yan kenarlar, B̂ ve Ĉ taban açıları, Â tepe açısıdır.
Bir açısı bilinen ikizkenar üçgenlerin tüm açılarının ölçüleri bulunabilir. Taban açıları aynı harfle harflendirilerek çözüme başlanabilir.
|AB| = |AC| = |BC| olan üçgende m(Â) = m(B̂) = m(Ĉ) = 60° olur.
Eşkenar üçgende kenar eşitlikleri soru üzerinde belirtilerek çözüme başlanabilir; bütün açıların 60° olduğu doğrudan kullanılabilir.
Bir ikizkenar üçgenin tepe noktasından çizilen yükseklik, hem açıortay hem de kenarortaydır. Tek bir doğru parçası üç işi birden görür.
Herhangi bir ikizkenar üçgenin taban açıları daima dar açıdır. Çünkü iki taban açısı eşittir ve toplamları 180° den küçük olmak zorundadır; biri 90° ya da daha büyük olsaydı ikisinin toplamı tek başına 180° yi aşardı.
Üçgen, kenar uzunlukları belliyken şekli değişmeyen tek çokgendir; bu yüzden sağlamlık gereken her yerde karşına çıkar.
Kadro üçgenlerden kurulur. Dikdörtgen bir kadro yamulurdu; üçgen kenar uzunlukları sabitken açıları da sabit kalır.
Çatı çoğu zaman ikizkenar üçgendir. Tepe açısı 40° ise taban açıları (180° – 40°)/2 = 70° olur; usta bu hesapla keser.
"Yol ver" levhası eşkenar üçgendir; üç açısı da 60° dir. Kenarları eşit olduğu için hangi yönden bakarsan bak aynı görünür.
Masaya eğik yaslanan kitap desteği, masa ve destek çubuğuyla bir üçgen kurar. Açılardan ikisi bilindiğinde üçüncüsü kendiliğinden bellidir.
Uçurtmanın çubukları köşeleri belirler. Kanat açılarından biri değiştiğinde toplam yine 180° kaldığı için başka bir açı zorunlu olarak küçülür.
Duvara monte rafın altındaki destek üçgeni, dik açıyla birlikte iki dar açı içerir; ikisi toplam 90° eder çünkü üçünün toplamı 180° dir.
Üç ayaklı sehpa zemin düz olmasa da sallanmaz: üç nokta her zaman tek bir düzlem belirler. Dört ayaklı masa aynı sebeple sallanır.
A tipi çadırın kesiti ikizkenar üçgendir; tepe noktasından inen orta direk hem yükseklik hem açıortay hem de kenarortaydır.
Voleybolda köşe vuruşu açısını hesaplarken, ağ çizgisi ve kenar çizgisinin oluşturduğu üçgende dış açı bağıntısı işe yarar: dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır.
Üçgenin tanımı, iç ve dış açılar toplamı, dış açı bağıntısı, kelebek bağıntısı, yükseklik–açıortay açısı, ikizkenar ve eşkenar üçgende açı özellikleri üzerine 32 soru.
Aynı düzlemde bulunan ve doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşimidir: [AB] ∪ [BC] ∪ [CA].
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180° dir.
Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
Bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
Aynı köşedeki iç ve dış açı komşu bütünlerdir; toplamları 180° dir.
Üçgenin içindeki D noktası B ve C ile birleştirilirse oluşan açı, üç köşedeki açıların toplamına eşittir.
Aynı köşeden çizilen yükseklik ile açıortay arasındaki açı, diğer iki açının farkının yarısıdır.
|AB| = |AC| ise m(B̂) = m(Ĉ) dir. [BC] taban, [AB] ve [AC] yan kenar, Â tepe açısıdır.
Herhangi bir ikizkenar üçgenin taban açıları daima dar açıdır.
İkizkenar üçgenin tepe noktasından çizilen yükseklik hem açıortay hem de kenarortaydır.
Üç kenarı eşittir ve m(Â) = m(B̂) = m(Ĉ) = 60° dir.
Kenarlarının uzunlukları birbirinden farklı olan üçgendir.