Söz verdim,
tutmazsam yalan.
p ⇒ q önermesi; p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Yani "ise" bağlacı yalnız tek bir durumda 0 verir. Bu ünitede o tek durumu, önermenin karşıtını-tersini-karşıt tersini ve "her" ile "bazı" niceleyicilerini öğrenirsin.
p ile q önermelerinin "ise" bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve bu koşullu önerme p ⇒ q biçiminde gösterilir. Doğruluk değeri şaşırtıcı gelebilir: p ⇒ q önermesi; p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Yani söz verilip tutulmadığı tek durum dışında koşullu önerme hep 1'dir.
Hepsinin tek kaynağı aynı satırdır: hüküm 1 ise sonuç 1, hipotez 0 ise sonuç yine 1. Sonucu 0 yapabilmek için hipotezin 1, hükmün 0 olması şart.
"ise" bağlacı "veya"ya çevrilebilir. Bu denklik sayesinde koşullu önermeleri önceki ünitenin kurallarıyla (De Morgan, dağılma) sadeleştirebilirsin. Sınavda uzun bir ifade gördüğünde ilk yapılacak şey her ⇒ işaretini p' ⋁ q'ya çevirmektir.
p ⇒ q koşullu önermesinde p, koşullu önermenin hipotezidir; q, koşullu önermenin hükmüdür. p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. Yani her koşullu önerme gerektirme değildir — gerektirme, doğruluk değeri 1 olan koşullu önermenin özel adıdır.
Bir p ⇒ q önermesinden üç önerme daha türetilir. Üçünü karıştırmamak bu ünitenin en kritik noktasıdır: p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p, tersi p' ⇒ q', karşıt tersi q' ⇒ p' olur. Ve bunlardan yalnız biri asıl önermeye denktir.
p ⇒ q önermesi, karşıt tersi olan q' ⇒ p' önermesine denktir. "Yağmur yağarsa yerler ıslanır" ile "yerler ıslak değilse yağmur yağmamıştır" aynı şeyi söyler.
Karşıt (q ⇒ p) ve ters (p' ⇒ q') asıl önermeye denk değildir. "Yerler ıslaksa yağmur yağmıştır" doğru olmak zorunda değil — biri arabasını yıkamış olabilir. Ama karşıt ile ters kendi aralarında denktir; ikisi de birbirinin karşıt tersidir.
p ⇒ q önermesinin tersi p' ⇒ q' ile p ⇒ q önermesinin değili (p ⇒ q)' aynı değildir. "Ters" derken bağlaç yerinde kalır, iki tarafın değili alınır; "değil" derken tüm bileşik önermenin olumsuzu alınır. p ⇒ q ≡ p' ⋁ q olduğundan De Morgan ile (p ⇒ q)' ≡ p ⋀ q' çıkar — yani içinde ⇒ bile kalmaz. Sınavda "değili" ile "tersi" sözcüklerini karıştırmak en sık yapılan hatadır.
p ve q iki önerme olmak üzere p ⇒ q ile q ⇒ p koşullu önermelerinin ⋀ bağlacı ile birbirine bağlanmasından oluşan (p ⇒ q) ⋀ (q ⇒ p) bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir. İki yönlü koşullu önerme p ⇔ q şeklinde yazılır ve "p ancak ve ancak q" olarak okunur. Kuralı tek cümlede söylenebilir: doğruluk değerleri aynı iken 1, farklı iken 0.
⇔ bağlacının değişme özelliği vardır (p ⇔ q ≡ q ⇔ p); oysa ⇒ bağlacında yerler değişince önerme değişir. İkisi arasındaki en görünür fark budur.
p ⇔ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye çift gerektirme denir. Tek yönlüde adı "gerektirme"ydi; iki yönlüde "çift gerektirme" oluyor. İkisinin de tanımı aynı kalıba oturuyor: doğruluk değeri 1 olan koşullu önerme.
İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir ve bu önerme p(x) ile gösterilir. Örnek: p(x) : "x bir tam sayı, x² = 9" ifadesi bir açık önermedir. x'e değer verilmeden doğru mu yanlış mı bilinemez.
Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine o açık önermenin doğruluk kümesi denir. Bir a sayısı p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise p(a) ≡ 1'dir; bir b sayısı doğruluk kümesinin elemanı değil ise p(b) ≡ 0'dır. Yukarıdaki örnekte doğruluk kümesi {–3, 3} olur.
Her denklem ve her eşitsizlik aynı zamanda bir açık önerme belirtir. Denklemler ve eşitsizliklerin çözüm kümeleri ise bu açık önermelerin doğruluk kümesidir. Yani 15. ünitede bulduğun çözüm kümesi, aslında bir açık önermenin doğruluk kümesiymiş.
"Her" sözcüğü, bütün ve tamamı sözcükleri ile aynı anlamdadır.
"Her" niceleyicisi, önüne geldiği elemanların tamamını anlattığı için bu niceleyiciye
evrensel niceleyici denir ve "∀" sembolü ile gösterilir.
∀x ∈ ℝ⁺, x² > 0
"Her pozitif gerçek sayının karesi sıfırdan büyüktür."
"Bazı" sözcüğü, en az bir ifadesi ile aynı anlamdadır.
"Bazı" niceleyicisi, en az bir tane anlamında kullanıldığı için bu niceleyiciye varlıksal
niceleyici denir ve "∃" sembolü ile gösterilir.
∃x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 8
"Bazı gerçek sayıların 2 eksiği 8'e eşit veya 8'den küçüktür."
"Sınavdan 90 alırsam seni maça götürürüm." Sınavdan 90 aldın ve götürmediysen sözün yalan. 90 alamadıysan ne yaparsan yap söz bozulmuş sayılmaz — p ⇒ q yalnız p = 1, q = 0 iken 0'dır.
"Ödevini getirmeyen tahtaya kalkar." Tahtaya kalkmadıysan ödevini getirmişsindir — bu karşıt ters okumadır ve kural ile aynı şeyi söyler. Ama "tahtaya kalktın, demek ödev getirmedin" demek karşıttır, doğru olmak zorunda değil.
"Kulübe ancak ve ancak haftada iki gün gelebilenler girer" iki yönü birden söyler: gelebiliyorsan girersin, giriyorsan geliyorsundur. p ⇔ q tek yönlü bir kuraldan daha güçlüdür.
"Şarj %20'nin altına düşerse güç tasarrufu açılır." Güç tasarrufu kapalıysa şarj %20'nin üstündedir. Telefon bu kararı p ⇒ q kalıbıyla veriyor; sen de kapalı olduğunu görünce karşıt tersinden okuyorsun.
Arkadaşın "sınıftaki herkes bu diziyi izliyor" dediğinde çürütmek için tek bir izlemeyen bulman yeter. [∀x, p(x)]' ≡ ∃x, p'(x) — "her"in değili "bazı"dır.
"Bazı arkadaşlarım geldi"nin değili "hiçbir arkadaşım gelmedi"dir, "bazıları gelmedi" değil. [∃x, p(x)]' ≡ ∀x, p'(x) — "bazı"nın değili "hiç" anlamına gelen bir "her"dir.
Oyunda "50 elmas toplarsan yeni karakter açılır" yazıyorsa, karakter açılmadığında 50 elmasın olmadığını anlarsın. Bu q' ⇒ p' okumasıdır ve kuralla birebir aynıdır.
"Üye değilsen veya indirim kodun varsa" gibi cümleler aslında bir koşulun kılık değiştirmiş hâlidir: p ⇒ q ≡ p' ⋁ q. Uzun bir kuralı okurken "ise"yi "veya"ya çevirmek işi kolaylaştırır.
"Gelmezsen üzülürüm" cümlesinin yalan çıkması için gelmemen ve üzülmemen gerekir. (p ⇒ q)' ≡ p ⋀ q' — bir koşulun yalan olduğunu göstermek için iki şeyin aynı anda olması lazım.
Koşullu önerme ve doğruluk tablosu, ise bağlacının özellikleri, karşıt-ters-karşıt ters, iki yönlü koşullu önerme, açık önerme ve niceleyiciler üzerine 40 soru.
p ile q önermelerinin "ise" bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir. p ⇒ q önermesi; p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
Hepsi tek satırdan çıkar: sonucun 0 olabilmesi için hipotezin 1, hükmün 0 olması gerekir. Ayrıca p ⇒ q ≡ p' ⋁ q dur.
p ⇒ q koşullu önermesinde p, koşullu önermenin hipotezidir; q ise hükmüdür. p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.
p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p, tersi p' ⇒ q', karşıt tersi q' ⇒ p' olur. p ⇒ q önermesi karşıt tersi olan q' ⇒ p' önermesine denktir.
p ⇒ q önermesinin tersi p' ⇒ q' ile p ⇒ q önermesinin değili (p ⇒ q)' aynı değildir. Değil alınırken p ⇒ q ≡ p' ⋁ q denkliğinden De Morgan ile p ⋀ q' elde edilir.
p ⇒ q ile q ⇒ p koşullu önermelerinin ⋀ bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir, p ⇔ q yazılır ve "p ancak ve ancak q" okunur.
p ⇔ q önermesi p ile q'nun doğruluk değerleri aynı iken 1, farklı iken 0'dır. Doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye çift gerektirme denir. Ayrıca (p ⇔ q)' ≡ p' ⇔ q ≡ p ⇔ q' dur.
İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir, p(x) ile gösterilir. Açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine doğruluk kümesi denir; her denklem ve eşitsizliğin çözüm kümesi bir doğruluk kümesidir.
"Her" niceleyicisi evrensel niceleyicidir, ∀ ile gösterilir; "bazı" niceleyicisi en az bir anlamındadır, varlıksal niceleyicidir ve ∃ ile gösterilir. Değil alınırken ∀ ↔ ∃, = ↔ ≠, < ↔ ≥, > ↔ ≤ olarak yer değiştirir.