Doğru mu,
yanlış mı?
Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm (yargı) bildiren ifadelere önerme adı verilir. "Çilek en lezzetli meyvedir" bir önerme değildir — kişiden kişiye değişir. Bu ünitede ifadeleri 1 ve 0'a indirger, bağlaçlarla birleştirmeyi öğrenirsin.
Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm (yargı) bildiren ifadelere önerme adı verilir. Matematikte önermeler genellikle p, q, r, s gibi küçük harflerle gösterilir. Bir ifadenin önerme olması için doğru olması gerekmez; doğru ya da yanlış olduğunun kesin olarak belirlenebilmesi yeter.
Bir önermenin iki farklı doğruluk değeri olur. p önermesi doğru ise D veya 1, yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir. Yani p doğru ise p ≡ 1, yanlış ise p ≡ 0 şeklinde yazılır.
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. p önermesi q önermesine denk ise "p ≡ q", denk değil ise "p ≢ q" ile gösterilir.
Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir. Her önermenin 2 farklı doğruluk değeri olduğu için iki önermede 2 · 2 = 4, üç önermede 2 · 2 · 2 = 8 durum vardır. n ∈ ℤ⁺ olmak üzere birbirinden bağımsız n tane önermenin 2ⁿ tane doğruluk değeri vardır.
Bir önermenin hükmünün değiştirilip yerine olumsuzunun kullanılması ile elde edilen önermeye ilk önermenin değili (olumsuzu) denir.
| p | p' | (p')' |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
İki veya daha fazla önermenin "ve" (⋀), "veya" (⋁), "ya da" (⊻), "ise" (⇒), "ancak ve ancak" (⇔) gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir. Bu ünitede ilk üçü işleniyor; "ise" ve "ancak ve ancak" bir sonraki ünitenin konusu.
p ⋀ q bileşik önermesinin doğruluk değeri; p ile q önermelerinin her ikisi de doğru iken 1, diğer durumlarında ise 0'dır.
p ⋁ q bileşik önermesi; p ile q önermelerinden en az biri doğru iken 1, her ikisi de yanlış iken 0'dır.
p ⊻ q bileşik önermesi; p ile q önermelerinden yalnız biri doğru iken 1, diğer durumlarda 0'dır.
Değişme özelliği: her p ve q önermesi için p ⊻ q ≡ q ⊻ p dir. Birleşme özelliği: her p, q, r önermesi için (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) dir. Dikkat: "ya da" bağlacında tek kuvvet özelliği verilmemiştir — zaten p ⊻ p ≡ 0 olur, p değil.
Birincisi "ve"nin "veya" üzerine soldan dağılma özelliği, ikincisi "veya"nın "ve" üzerine soldan dağılma özelliğidir. Sayılardaki dağılmadan farkı: burada iki yönde de dağılma çalışıyor.
"Kulübe girmek için 9. sınıf olmak ve haftada iki gün gelebilmek gerekir" cümlesinde iki koşul da sağlanmalı — p ⋀ q ancak ikisi de doğruyken 1'dir. Biri bile tutmazsa giremezsin.
"Öğrenci veya 65 yaş üstü indirimlidir" derken en az biri yetiyor. p ⋁ q en az biri doğruyken 1'dir; ikisi birden olursa da geçerli.
"Yanında ayran ya da kola" dendiğinde ikisini birden alamazsın. p ⊻ q yalnız biri doğruyken 1'dir — günlük dildeki "ya … ya da" tam olarak bu bağlaçtır.
"Bu sayı asal değildir"in değili "bu sayı asaldır"dır. Bir önermenin değilinin değili önermenin kendisine denktir: (p')' ≡ p. İki olumsuzluk birbirini götürür.
"Ne matematik ne fizik çalıştım" demek, "matematik veya fizik çalıştım"ın değilidir: (p ⋁ q)' ≡ p' ⋀ q'. De Morgan kuralı günlük dilde zaten kullandığın bir şey.
"Aynı anda hem antrenman hem sınav olmasın" cümlesi (p ⋀ q)' demektir ve bu p' ⋁ q''ye denktir: en az biri olmasın.
"Bu şarkı en güzel şarkıdır" tartışılabilir, önerme değildir; ama "Bu şarkı 2019'da çıktı" önermedir. Kesin olarak doğru ya da yanlış denebiliyorsa önermedir.
Alışveriş uygulamasında iki filtre birden seçmek "ve", tek tek eklemek "veya" gibidir. "ve" sonucu daraltır, "veya" genişletir — doğruluk tablosundaki 1 sayısı bunu gösteriyor.
"En az 8 karakter ve bir rakam içermeli" iki koşulu birden arar; biri eksikse şifre kabul edilmez. Bilgisayarlar bu kararları doğrudan 1 ve 0 üzerinden veriyor.
Önerme ve doğruluk değeri, doğruluk tablosu, değil işlemi, ve-veya-ya da bağlaçları, dağılma ve De Morgan üzerine 30 soru.
Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm (yargı) bildiren ifadelere önerme adı verilir. Matematikte önermeler genellikle p, q, r, s gibi küçük harflerle gösterilir.
Bir önermenin iki farklı doğruluk değeri olur. p önermesi doğru ise D veya 1, yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir.
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. p önermesi q önermesine denk ise "p ≡ q", denk değil ise "p ≢ q" ile gösterilir.
Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir. Bir önermede 2, iki önermede 2 · 2 = 4, üç önermede 2 · 2 · 2 = 8 durum vardır; n tane bağımsız önermenin 2ⁿ tane doğruluk değeri vardır.
Bir önermenin hükmünün değiştirilip yerine olumsuzunun kullanılmasıyla elde edilen önermeye değili denir; p' veya ~p ile gösterilir. p ≡ 1 ise p' ≡ 0 olur ve bir önermenin değilinin değili önermenin kendisine denktir.
İki veya daha fazla önermenin "ve" (⋀), "veya" (⋁), "ya da" (⊻), "ise" (⇒), "ancak ve ancak" (⇔) gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.
p ⋀ q her ikisi de doğru iken 1, diğer durumlarda 0'dır. p ⋁ q en az biri doğru iken 1, ikisi de yanlış iken 0'dır. p ⊻ q yalnız biri doğru iken 1, diğer durumlarda 0'dır.
"ve" ve "veya" bağlaçlarının her ikisinde de tek kuvvet (p ⋀ p ≡ p, p ⋁ p ≡ p), değişme ve birleşme özellikleri vardır. Ayrıca p ⋀ 0 ≡ 0 ve p ⋁ 1 ≡ 1 olur.
"ve"nin "veya" üzerine soldan dağılması p ⋀ (q ⋁ r) ≡ (p ⋀ q) ⋁ (p ⋀ r), "veya"nın "ve" üzerine soldan dağılması p ⋁ (q ⋀ r) ≡ (p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ r) biçimindedir. De Morgan kurallarında değil işlemi içeri girerken bağlaç yer değiştirir.