Büyük açının
karşısı uzundur.
Açıları sıralayabiliyorsan kenarları da sıralayabilirsin; tersi de doğrudur. Üç uzunluğun üçgen oluşturup oluşturamayacağını ise tek bir eşitsizlik söyler: |a – b| < c < a + b.
Konu özetinin kuralı: bir üçgende büyük açının karşısındaki kenarın uzunluğu, küçük açının karşısındaki kenarın uzunluğundan büyüktür. Bu bağıntı çift yönlüdür.
Açılar hangi sırada ise karşılarındaki kenarlar da aynı sıradadır; kenarlar hangi sırada ise karşılarındaki açılar da aynı sıradadır. Soruda hangisi verilirse ötekine geçilebilir.
Bir üçgende eşit açılar karşısındaki kenarların uzunlukları eşittir. İkizkenar üçgende taban açılarının eşit olması bu kuralın sonucudur.
Aynı açılara sahip iki farklı üçgende eşit açıların karşısındaki kenar uzunlukları eşit olmayabilir. Açılar üçgenin biçimini belirler, büyüklüğünü değil — bu, benzerlik konusunun kapısıdır.
Kenarları sıralaman istendiğinde önce eksik açıyı bul (180° kuralı), sonra açıları büyükten küçüğe diz, en sonunda karşı kenarları aynı sırayla yaz. Üç adımın hepsi tek satırda biter.
Konu özetinde ABC üçgeninde α = m(B̂) açısı ve karşısındaki b kenarı için üç durum veriliyor. Kenar uzunlukları biliniyorsa üçgenin türü ölçüm yapmadan bulunur.
Dik üçgende karşı kenarın karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir.
Açı büyüdükçe karşı kenar uzar; kare de karelerin toplamını aşar.
Açı küçüldükçe karşı kenar kısalır; kare karelerin toplamının altında kalır.
b kenarı, üçgen eşitsizliğinin alt sınırı ile dik üçgen değerinin arasında kalır.
b kenarı, dik üçgen değerinin üstünde ama üçgen eşitsizliğinin üst sınırının altında kalır.
Üçgenin türünü belirlerken kareler karşılaştırması en büyük kenar üzerinden yapılır; çünkü geniş açı ancak en uzun kenarın karşısında olabilir. 5, 12, 13 için 13² = 169 ve 5² + 12² = 169 olduğundan üçgen diktir; 5, 12, 14 için 196 > 169 olduğundan geniş açılıdır.
Konu özetinin kuralı: bir üçgende herhangi iki kenar uzunluğunun toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür. Yani c < a + b, b < a + c ve a < c + b olur.
ABC üçgeninde herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük; farklarının mutlak değerinden büyüktür. Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.
Üç doğru parçasının uzunlukları üçgen eşitsizliklerinden birini sağlıyorsa bu doğru parçalarını kenar kabul eden üçgen çizilebilir. Bir tanesini kontrol etmek yeterlidir; en uzun kenar için yazılan eşitsizlik sağlanıyorsa diğer ikisi zaten sağlanır.
3, 4, 7 uzunluklarında üçgen çizilemez; çünkü 3 + 4 = 7 dir ve eşitsizlik kesin olmalıdır (7 < 7 yanlıştır). Bu durumda üç nokta doğrusal olur ve üçgen tanımındaki "doğrusal olmayan" şartı bozulur.
Sınavda en sık sorulan biçim budur: iki kenarı verilen üçgende üçüncü kenarın alabileceği en büyük / en küçük tam sayı değeri ya da kaç farklı değer alabileceği.
Aslında hepsi tek bir cümleye çıkıyor: iki nokta arasındaki en kısa yol doğrudur.
Çimenden çapraz geçmek, iki kenardan dolaşmaktan her zaman kısadır. Üçgen eşitsizliğinin günlük hayattaki karşılığı tam olarak bu patikadır.
Duvara 30 cm ve 40 cm lik iki parça vidalanacaksa aradaki çapraz destek 10 cm den uzun, 70 cm den kısa olmak zorundadır; yoksa parçalar birleşmez.
İki şehir arası 200 km, ikinci ile üçüncü arası 150 km ise birinci ile üçüncü arası 50 km ile 350 km arasındadır; harita olmadan bile aralık verilebilir.
Sahada iki pasla dolaşmak, doğrudan pastan uzundur. Antrenörün "topu en kısa yoldan taşı" demesinin geometrik karşılığı budur.
Direk 2 m, ipin yere sabitlendiği nokta direğe 1,5 m uzakta ise ip 0,5 m den uzun, 3,5 m den kısa olmalı. Kısa ip yetişmez, çok uzun ip gerilmez.
Üçgen bir bahçenin en uzun kenarına baktığında, o kenarın karşısındaki köşede en geniş açı bulunur. Kenarları ölçmen açıları sıralaman için yeter.
Ustalar bir köşenin dik olup olmadığını 3-4-5 üçgeniyle kontrol eder: 3² + 4² = 5² tuttuğu için açı tam 90° dir.
Merdiveni duvardan uzaklaştırdıkça duvarla yaptığı açı büyür ve yere değdiği nokta ile duvar arasındaki mesafe uzar — büyük açının karşısındaki kenar uzundur.
Kulüp panosuna üçgen bir afiş kesiliyor. Elindeki üç şeritten biri diğer ikisinin toplamına eşitse afiş üçgen olmaz, düz bir çizgiye çöker.
Açı - kenar sıralaması, dar/dik/geniş açılı üçgenlerde kare karşılaştırması, üçgen eşitsizliği ve üçüncü kenarın alabileceği değerler üzerine 32 soru.
Büyük açının karşısındaki kenar, küçük açının karşısındaki kenardan uzundur; bağıntı çift yönlüdür.
Bir üçgende eşit açılar karşısındaki kenarların uzunlukları eşittir.
Aynı açılara sahip iki farklı üçgende eşit açıların karşısındaki kenar uzunlukları eşit olmayabilir.
α, b kenarının karşısındaki açıdır.
Karşı kenarın karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamını aşar.
Karşı kenarın karesi, karelerin toplamının altında kalır.
m(B̂) < 90° iken b kenarının bulunduğu aralıktır.
m(B̂) > 90° iken b kenarının bulunduğu aralıktır.
Bir kenar, diğer ikisinin toplamından küçük ve farklarının mutlak değerinden büyüktür.
Bir üçgende herhangi iki kenar uzunluğunun toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür: c < a + b, b < a + c, a < c + b.
Üç doğru parçasının uzunlukları üçgen eşitsizliklerinden birini sağlıyorsa bu doğru parçalarını kenar kabul eden üçgen çizilebilir.
Eşitlik durumu üçgen vermez: 3, 4, 7 için 3 + 4 = 7 olduğundan üçgen çizilemez, üç nokta doğrusal olur.